5.2任意角的三角函数和三角函数线讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5、2任意角的三角函数和三角函数线

复习初中锐角的三角函数是如何定义的？

在中，设对边为，对边为,对边为，锐角的正弦、余弦、正切依次为

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义和拓展，拓展的过程中原来的三角函数性质不改变

一、任意角的三角函数定义

利用角终边上任意一点的坐标定义任意角的三角函数（先看锐角在第一象限，再推广其他象限）

设是一个任意角，的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是那么：

（1）比值叫做的正弦，记作，即（sine）

（2）比值叫做的余弦，记作，即（cosine）

（3）比值叫做的正切,记作，即（tangent）

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，由于任意

角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系

注意：三角函数值是一个比值，是一个实数，这个实数的大小和点在终边上的位置无关，而由角的终边位置所决定，对于确定的角，其终边的位置也是唯一确定的。

【例1】（1）已知角终边过点,求这个角的三个三角函数值?

       解：，，

         ；；

（2）已知已知角终边过点，且 求_____

解：，

【例2】（1）若角的终边上有一点，则______

     （2）若角的终边在在直线上，则

      解：（1）角的终边，，

         （2），，过点，

二、定义域、值域（定义域四条限制，谁对三角函数定义域有限制呢）

1、定义域：确定三角函数定义域时，应抓住分母不能为零这一关键特性，当且仅当角的终边在坐标轴

上时，点的坐标中必有一个为零,结合三角函数的定义,可得到三角函数的定义域.

①；②；③

2、值域：①；

②；

③

三、三角函数值在各象限的符号：

根据三角函数的定义，可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限内的符号

口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”（唐诗：S上C右T对角）,意思为:第一象限各三角函数值均为正;第二象限只有正弦值为正,其余均为负;第三象限只有正切值为正，其余均为负;第四象限只有余弦值为正,其余均为负.

【例3】判断下列函数值的正负

（1） 正的

（2）               ；所以在第四象限，正的

（3）          ，所以在第一象限，正的

（4）  ，在一四象限，余弦在一四象限为正的（5） 

【例4】（1）若，则点位于第_______象限

（2）如果点位于第二象限，那么角的终边所在的象限是_______

    （3）使得有意义的角是第_______象限角

（4）若三角形的两个内角满足，则此三角形的形状是________

（5）设，若，且，则的范围是_____

    （6）若，则下列三角函数的值恒为负数的是（ ）