5.1任意角和弧度制讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5、1任意角和弧度制

一、任意角的概念：平面内一条射线绕着顶点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，（动态的）

正角：按逆时针方向旋转形成的角                            

负角：按顺时针方向旋转形成的角

零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.

理解：（1）任意角的度数关键看终边旋转的方向和旋转角的大小，由此我们可以看出终边位置的重要性.

（2）角的范围不再局限于0°~360°，而是任意角

（3）当角的始边相同时,若角相等,则终边相同，而两个终边相同的角不一定相等。

二、坐标系中的角：（扩角以后，角的变化情况增多，我们如何研究呢？高中阶段有重要的思想：把几何的性质用代数语言来描述，放到坐标系中来研究）

 规定：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的正半轴重合

1、象限角:角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角

2、轴线角:角的终边落在坐标轴上，就称这个角是轴线角,这时这个角不属于任何象限。

注意：（1）象限角与轴线角的集合的表示形式不唯一，如轴非正半轴

（2）象限角只反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小

【例1】概念判断

       ①终边相同的角大小一定相等（ 错）

       ②大小相等的角终边一定相同（对 ）

       ③小于的角都是锐角（错）

       ④锐角都是第一象限的的角（对）

       ⑤第一象限的都是锐角（错）

       ⑥三角形的内角一定是第一象限或第二象限角（错，轴线角）

三、终边相同的角的集合：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

注意：（1）为任意角

（2）条件不能少

（3）终边相同的角有无数个，他们相差360度的整数倍

（4）与之间是+号，如应该看成

【例2】写出符合条件的角的集合

（1）终边在轴负半轴上的角的集合 

（2）终边在第三象限的角的集合      

（3）终边在上的角的集合 

更简洁写法

【例3】写出符合条件的角的集合

（1）终边与角终边相同的角            

（2）终边与角终边互为反向延长线的角   

（3）终边与角终边在同一直线上的角   

（4）终边与角终边垂直的角       

（5）终边与角终边关于轴对称   

（6）终边与角终边关于轴对称    

（8）终边与角终边关于轴对称 

【例4】（1）若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限的是（ ）

A、     B、     C、    D、

        （2）若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（ ）

            A、第一象限     B、第二象限     C、轴的正半轴上   D、轴的负半轴上

          解：（1）为第一象限；第二象限；第四象限；第三象限，答案C

             （2）在第二象限，答案我B

【例5】（1）已知集合，，则有（ ）

A、        B、         C、       D、不能确定

         （2）已知集合，，则有（ ）

A、        B、         C、       D、

          解：（1）方法一：取值

                  方法二：画图，由图可知，答案为C

             （2）方法一：取值

                  方法二：画图，由图可知，答案为A

 

【例6】已知角的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么_______ 

     解：阴影内的角α的取值范围为与

           满足集合为：

              化简：

              合并可得：

       变形：  

弧度制

一、弧度制的概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad这种以弧度为单位       

来度量角的单位制叫做弧度制（在半径相同时，圆弧越长所对圆心角越大，当圆弧长相同时，半径越大，圆心角越小，所以定义圆心角的弧度制为）

注意：1、在用弧度表示角的时候,弧度二字或rad可以省略不写.角度的单位“。”不可省略.

2、以弧度、度为单位的角,都是一个与半径无关的量.

二、角度与弧度的换算

（如何换算呢：找到一个基准，找到一个角，你也认，我也认，如：周角，周角的弧度）

1、角度和弧度的换算公式

由，得；反过来

注意：

【例7】特殊角的角度数与弧度数的对应表

【例8】把下列角进行弧度与角度的互化

（1）              （2）