4.5函数的模型及其应用讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5函数的模型及应用

常见的函数模型

（1）一次函数模型：

（2）二次函数模型

（3）指数函数：

（4）对数函数模型：

（5）幂函数： （6）分段函数y=

（7）反比例函数：（8）对勾函数：

1、直线模型:即一次函数模型,如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升,通过图可以很直观地认识它.

2、指数函数模型:特点是随着自变量的增大，函数值增大得越来越快(底数a>1时),常形象地称之为指数爆炸.通过细胞分裂增长实例以及函数图象的变化，都可以清楚地看到“爆炸”的威力.

3、对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1时),函数值增大得越来越慢.对数增长在现实生活中也有广泛的应用.

 

【例1】如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当点沿着路径

(不包含，点)运动时，的面积关于点经过的路程的函数的图像的大致形状为（    ）

A、              B、

C、 D、

解：根据题意，当时，

当时，，即

；

当时，

整理得y＝f(x)＝观察图像，A项合理，故选：A．

【例2】某种商品在今年1月份价格降低10%，在此之后由于市场供求关系的影响，价格连续三次上涨，使目前售价与1月降价前的价格相同.则这三次上涨的平均回升率是（    ）

A、        B、         C、              D、

解：根据题意，设该商品在今年1月份的价格为(>0),这次价格的平均回升率为,则有，解得：，故选：D

【例3】光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（，）

解：设至少需块玻璃板，

由题知，即，取对数，

即，即，

，∴．故答案为：7

【例4】某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

 

 

 

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（    ）

A、     B、    C、      D、

解：这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，排除A,B;时，排除C,故选：D.

【例5】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的变化规律，指数增长率与，

近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(　　)()

A、1.2天          B、1.8天         C、2.5天            D、3.5天

解：把，代入，可得，故.

当时，，令，两边取自然对数得，解得

，故选B.

【例6】碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年.至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：，，）（    ）

A、         B、        C、           D、

解：每经过5730年衰减为原来的一半，

生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为.

现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，

由题意可得，，因为，所以，故选：C

  【例7】一种药在病人血液中的量保持以上才有疗效；而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：，，精确到）

解：设应在病人注射这种药经过小时后再向病人的血液补充这种药，

则血液中的含药量与注射后的时间的关系式为：，

依题意，可得， 整理可得，