4.2指数函数及其性质讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2、指数函数及其性质

指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R．

理解: ①系数为1

②，且

原因，①若时，则

②若时，当x取一些值时如±函  数值不存在！

③当时，取任何值，函数都得1，没有研究的价值！

【例1】（1）下列函数不是指数函数的是（ ）

A、   B、    C、    D、

解：，答案为A

（2）若函数是指数函数，则的值为______

     解：，

  【例2】设指数函数，则下列等式中正确的是_________

          ①      ②

③     ④

解：①②正确，③； ④

    抽象函数原型

可能是正比例函数（如）

可能是指数函数（如）

可能是对数函数（）

可能是幂函数（）

【例3】若满足对任意的实数都有，且，则

              

          解：抽象函数，

指数函数的的图像和性质（用描点法画出，来研究性质）

函数的图像和性质

 

【例4】曲线是四个指数函数的图像，判断其底数的大小关系，

     解：利用，可得底数大小关系

 

 

 

 理解：1、对于和，一定要注意底数的范围，通常用到分类讨论的思

2、当时，的值越大，图像向上越靠近Y轴，递增速度越快，

当，越小，图像向上越靠近轴，递减速度越快！

3、同一直角坐标系中，有多个指数函数，在轴的右侧，底数按逆时针方向变大

4、指数函数的图像关于轴对称

5、指数函数是增长很快的函数（爆炸式增长），月亮和地球的距离是38万公里，一张0.1毫米纸，只需要对折42次，就可以到达月亮（一张纸最多折7次）

（）

【例5】求下列函数的定义域和值域

（1）     （2）       （3）   （4）

（5）

 解：（1）定义域：；

值域：；，，

（2）定义域：；

            值域：；，，，

      （3）定义域：R

值域：，

      （4）定义域：R

             值域：设,

（5）定义域：

     值域：，，，，

【例6】（1）函数的图象必经过点_______    过定点

       （2）函数的图象必经过点_______  过定点

（3）函数（，且）恒过点,则的值为______

     过定点

过定点问题：只须让指数位置等于0

【例7】（1）如果函数图像经过二、三、四象限，的取值范围是_______

       （2）如果函数图像不经过第一象限，则的取值范围是_______

  解:（1）当，不存在；当，

          （2）画图，

图像问题：

【例8】（1）已知，且，讨论的根的个数

       （2）若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围______

           (若方程有两个根，则实数的取值范围______)

         

         （3）已知，则不等式的解集为_______