3.4函数应用讲义（1）（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.13函数应用（一）

二次函数模型：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)

两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)

【例1】如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

 

 

 

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

(2)若围成的矩形的面积为 平方米，当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？

解：(1)设篱笆的一面AB的长为 米，则，且（易忽略）

由题意得，

解得，，，，

所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；

(2)由题意得，

时，取得最大值，此时，，

所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．

【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．

(1)求函数的表达式；

(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时) 可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒

解：(1)当时，；当时，设，

由已知得解得，

故函数的表达式为；

(2)依题意并由(1)可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；

当时，，

当时，在区间(20，200]上取得最大值，∵3333＞1200，

当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时

题型二：分段函数模型

【例3】某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价

-成本）

解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，则有

(2)当时，；

当时，；

当时，.

(3)设工厂获得的利润为元，则，

即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元

【例4】小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，

（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生 产的产品当年能全部售完.

(1)        写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.

（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

解：（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，；

当时，.

所以；

（2）当时，，

当时，取得最大值；

当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.

当时，取得最大值.

由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，

最大利润为万元

给定函数模型

【例5】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．

(1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；

(2)当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．

解：(1)由题意得

，

即，，.

(2)由，得，

因，当且仅当时取等号，所以.

故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.