第21章 一元二次方程 第5讲 一元二次方程在几何中的应用 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

一元二次方程专题 第5讲 一元二次方程在几何中的应用 知识清单 考点1：一元二次方程与几何性质结合 考点2：利用一元二次方程解决动点问题 知 识 精 讲 · 考点1：一元二次方程与几何性质结合 典例精讲 【例1】已知关于的一元二次方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求的值． 【例2】已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若，求的值． 变式训练1 1．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根； （2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求的值． 2．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 3．如图，在四边形中，，、的长为关于的一元二次方程的两根． （1）求的长； （2）若四边形的面积为36，求的周长． 知 识 精 讲 · 考点2：利用一元二次方程解决动点问题 典例精讲 【例3】如图，中，，，．点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始，沿着边向点以每秒的速度移动．如果，同时出发，当点移动到点后停止，点也随之停止．问： （1）经过几秒钟后，、两点间的距离为． （2）经过几秒钟后，四边形的面积是？ 【例4】如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动 （1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ （2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？ 变式训练2 1.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （2）在（1）中，面积能否等于？请说明理由． 2.如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． （1）　　，　　，　　，　　（用含的代数式表示）； （2）为多少时，四边形的面积为； （3）为多少时，点和点的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$一元二次方程专题 第5讲 一元二次方程在几何中的应用 知识清单 考点1：一元二次方程与几何性质结合 考点2：利用一元二次方程解决动点问题 知 识 精 讲 · 考点1：一元二次方程与几何性质结合 典例精讲 【例1】已知关于的一元二次方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）利用根的判别式得出△，进一步利用非负数的性质解决问题； （2）分和的长为5为腰两种情况，探讨得出答案即可． 【解析】解：（1）△， 所以无论取何值，方程总有两个实数根 （2）若，则方程有两个相等的实数根，所以， 此时△，即：，解得：； 当时，，此时、、满足三边关系． 若为的一腰，则方程有一根是5， 将代入方程解得： 当时，解得方程两根为5和3，此时、、满足三边关系． 综上：当是等腰三角形时，的值为． 【例2】已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若，求的值． 【分析】（1）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长； （2）将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出的周长； （3）由根与系数关系可得，，代入可求解． 【解析】解：（1）四边形是菱形，． 又、的长是关于的方程的两个实数根， △，， 当为1时，四边形是菱形． 当时，原方程为，即，解得：， 菱形的边长是． （2）把代入原方程，得：，解得：． 将代入原方程，得：， 方程的另一根， 的周长是； （3）、的长是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ，． 变式训练1 1．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根； （2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求的值． 【解析】（1）证明：△，方程总有两个实数根； （2）解：，，又的斜边，，， 即，解得，， ，为两个正根，舍去，． 2．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何实数值，方程