第21章 一元二次方程 第2讲 根的判别式与根系关系 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

一元二次方程专题 第2讲 根的判别式与根系关系 知识清单 考点1：根的判别式 考点2：根与系数的关系 ( 知 识 精 讲 ) ( 考点 1 ： 根的判别式 ) 【方法点拨】 1.不解方程，用判别式结合配方法的应用，证明含参一元二次方程总有（或两个）实数根； 2.用判别式求一元二次方程中字母参数的取值范围； ( 典 例精讲 ) 题型一 根据根的情况求参数取值范围 【例1】当取什么值时，关于的方程 （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 【例2】关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型二 判定含参方程的根 【例3】关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求的取值范围． ( 变式训练 1 ) 1.当取何值时，关于的一元二次方程， （1）有两个不等实根； （2）有两个相等实根； （3）无实根． 2.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围 为___________. 【变式1】已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围_________. 【变式2】已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围_____________. 3.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于，求的取值范围． ( 考点 2 ： 根与系数的关系 ) 【方法点拨】 1.求方程中字母系数的值或取值范围； 2.求代数式的值； 3.结合根的判别式，判断根的符合特征； 利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：①a≠0；②判别式△≥0. 题型一 根与系关系——求对称式的值 【例1】若的值 题型二 根与系关系——求非对称式的值 【例2】 设方程的两个根是，求的值 题型三 求方程中待定系数的值 【例3】已知关于x的方程. （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根满足，求m的值 题型三 一元二次方程根的分布 【例4】当m为何值时，关于x的一元二次方程的两根都大于2？ ( 变式训练 2 ) 1.若实数a,b满足（ ） A. B. C. D. 2.已知是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为 . 3.已知方程的两个根为α，β，求的值. 4.已知a,b是方程的两个实数根，求的值. 5．已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足x12+x22=16+x1·x2，求实数k的值． 6．已知关于x的一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$一元二次方程专题 第2讲 根的判别式与根系关系 知识清单 考点1：根的判别式 考点2：根与系数的关系 ( 知 识 精 讲 ) ( 考点 1 ： 根的判别式 ) 【方法点拨】 1.不解方程，用判别式结合配方法的应用，证明含参一元二次方程总有（或两个）实数根； 2.用判别式求一元二次方程中字母参数的取值范围； ( 典 例精讲 ) 题型一 根据根的情况求参数取值范围 【例1】当取什么值时，关于的方程 （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系确定的取值． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 【解析】解：， △． （1）当，时，方程有两个不相等的实数根； （2）当，时，方程有两个相等的实数根； （3）当，时，方程没有实数根． 【例2】关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 题型二 判定含参方程的根 【例3】关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求的取值范围． 【分析】（1）根据判别式△即可得； （2）因式分解法得出，，由方程有一个根大于3知，解之可得． 【解析】（1）证明：依题意，得△， ，方程总有两个实数根； （2），，，， 方程有一个根大于3，，．的取值范围是． ( 变式训练 1 ) 1.当取何值时，关于的一元二次方程， （1）有两个不等实根； （2）有两个相等实根； （3）无实根． 【解析】解：关于的一元二次方程， △． （1）当且，即且时，方程有两个不等实根； （2）当且，即时，方程有两个相等实根； （3）当且，即