第21章 一元二次方程 第1讲 一元二次方程及其解法 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

一元二次方程专题 第1讲 一元二次方程及其解法 知识清单 考点1：一元二次方程的概念 考点2：一元二次方程的解法 考点3：换元法解一元二次方程 考点4：配方法的应用 知 识 精 讲 · 考点1：一元二次方程的概念 【方法点拨】判断一个方程是不是一元二次方程，先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，然后把握三点：①含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程为整式方程. 典例精讲 题型一 一元二次方程的定义 【例1】m为何值时，方程： （1）是一元一次方程； （2）是一元二次方程. 题型二 一元二次方程的根 【例2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　 A． B．2022 C．2023 D．2024 【例3】已知是方程的一个不为0的根，求的值． 变式训练1 1．若方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A．m = ±2 B．m = 2 C．m = -2 D． m≠±2 2．已知关于x的一元二次方程有一个非零实数根-b，则a-b的值为（ ） A． 1 B． -1 C． 0 D． -2 3．若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是　　 A． B．2 C．0 D．或2 4．已知是方程的一个根，则的值为 　 　． 5．已知实数是一元二次方程的一个根，求代数式的值． · 考点2：一元二次方程的解法 【方法点拨】一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解一元二次方程除了提公因式法，公式法(完全平方公式，平方差公式），还有十字相乘法.因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为：“右化零，左分解，两因式，各求解”. 典例精讲 题型一 用适当的方法解一元二次方程 【例4】用适当的方法解一元二次方程 （1） （2） （3） 题型二 十字相乘法 【例5】用因式分解法解方程： （1）x2+6x-7=0； （2）x2+7x+10=0. 【例6】解方程：（1）6x2-23x+10=0； （2）-3x2+22x-24=0； 题型三 绝对值方程 【例7】阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 请参照上述方法解方程． 变式训练2 1．解一元二次方程： （1）用因式分解法解方程：（x﹣3）2＝（2x+1）2； （2）用配方法解方程：x2﹣x﹣2＝0； （3）用公式法解方程：； （4）用适当的方法解方程：2x2+x﹣6＝0． 3．解方程：（1）x2-3-4=0； (2)x2-6x-+3=0． · 考点3：换元法解一元二次方程 【方法点拨】利用换元法，可以将某些特殊的高次方程转化为一元二次方程，也可以把多个字母换成一个字母，这样简化了方程，使得计算更简单. 典例精讲 【例8】若，则的值是　　 A． B． C．2 D．4 【例9】若实数，满足，则的值是 　2　． 【例10】已知实数x满足= 0，求的值． 变式训练3 1．若，则的值为　　 A．2或 B．或6 C．6 D．2 2．如果有理数、同时满足，那么的值为　　 A． B．5 C． D．以上答案都不对 3．若，则　 　． 5．若实数满足 则　 　． 6．解下列方程：（1）(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0； （2）. · 考点4：配方法的应用 【方法点拨】将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手段之一．应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧. 常用公式有：（1）；（2）. 典例精讲 题型一 求字母的值 【例11】若，满足，则的值为 　　． 题型二 判定代数式的正负 【例12】求证：（1）对于任何实数x，均有：2x2+4x+3＞0. （2）不论x为何值，代数式-4x2+8x-9的值总小于0. 变式训练4 1．已知，则代数式的值为　 　． 2．若，，则与的大小关系为 　 　． 3．已知，则的值_______. 4．若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4＝0，则△ABC的形状为_____ ____三角形． 5．用配方法证明的值不小于1. 6．代数推理： 例题：求的最小值 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 阅读材料：利用完全平方式，将