第二章 一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 教学课件（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教学课件PPT（北师大版）

第 二 章 一元二次方程 第二章 一元二次方程 2.4　用因式分解法求解一元二次方程 1 学 习 目 标 1 2 理解用因式分解法解方程的依据. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 3 新课导入 复习交流 (2)因式分解有哪些方法？ 2. 说出方程(x+3)(x－5)=0的解。 1. (1)什么是因式分解？ ①提公因式法 ②公式法 平方差公式 完全平方公式 ③十字相乘法 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 知识讲解 ★ 因式分解法解一元二次方程 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等, 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程 x2 = 3x. 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0. 因此 , x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3. 小颖的思路： 小明的思路： 方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3. 知识讲解 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 （解两个一次方程，得出原方程的根） 这种解法是不是很简单？ x2 -3x =0 ① x(x-3) =0 ② x =0 x-3=0 小亮的思路： 由方程 x2 = 3x ,得 x1 = 0 , x2 = 3 知识讲解 通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 1.移项：将方程的右边化为0; 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; 3.转化：方程转化为两个一元一次方程; 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 简记口诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 知识讲解 例1 用因式分解法解下列方程 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 所以x1=x2=1. 解：化为一般式为 从而 知识讲解 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 知识讲解 所以 从而 或 解：把方程的左边进行因式分解，得 ， ， 知识讲解 几种常见的用因式分解法求解的方程 （1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为 x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b. （2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ a. （3）形如x2 ±2ax+ a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为（x± a ）2＝ 0，则① x+a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ -a. ② x-a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ a. （4）形如x2 +（a+b）x+ab ＝ 0 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为（x+a）（x+b）＝ 0，所以x+a ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ -b. 知识讲解 ★ 选择适当的方法解一元二次方程 例2 用适当的方法解下列方程： （1）2（x-1）2-18 ＝ 0 ； 分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2. 知识讲解 （2）x2+4x-1 ＝ 0 ； 分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法. 解：原方程变形为x2+4x＝ 1. 配方，得x2+4x+22＝ 1+22，即（x+2）2＝5. 可得x+2 ＝ ± ， ∴ x1＝ -2+ ，x2＝-2- . 知识讲解 （3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ； 分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法. 解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2＝ 0. 因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0. 可得3（x+1）+（2x-5）＝ 0 或3（x+1）-（2x-5）＝ 0， 即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0， ∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8. 知识讲解 解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12