专题四 圆中最值问题-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

九年级数学上分层优化堂堂清 二十四章 圆 专题四 圆中最值问题 圆中求最值的方法： 在圆中，注意圆的半径长是定值，要围绕半径构造模型解题。 （1） 结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解 （2） 利用圆的轴对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解。 （3） 寻找隐含条件（如中位线，直角三角形斜边上的中线等），先建立线段之间的数量关系，再构造直角三角形解题。 类型一 利用垂线段最短直接构造直角三角形求解 【例1-1】如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作⊙O的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　） A．3 B．2 C．3 D． 【例1-3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为 　 　． 类型二 利用圆的对称性求最值 【例2-1】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【例2-2】如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为 A． B． C．1 D．2 【例2-3】如图，MN为的直径，⊙O的半径为3，点A在上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为______． 类型三 利用两点之间线段最短求最值 【例3-1】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 【例3-2】如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（    ） A．9 B．4.5 C． D． 【例3-3】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为　 　． 【例3-4】如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点的直线上有两点、，且，°，不经过点，则的最小值为_____. 类型四 利用直径是圆中最长的弦求最值 【例4-1】如图，在中，，经过点C且与边相切的动圆与分别相交于点E，F，则线段长度的最小值是（ ） A． B．4.75 C．5 D．4.8 【例4-2】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（    ） A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣ 【例4-3】如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是　OP　． 【例4-4】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是(　　) A． B． C．5 D．无法确定 类型五 隐圆问题 【例5-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___． 【例5-2】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 【例5-3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为（　　） A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2 【例5-4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（     ） A． B． C． D． 巩固练习 1 .如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（   ） A．6 B．8 C．4 D．10 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路