3.3 幂函数（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

幂函数 1 定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 2 常见幂函数图像 3 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸； ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【题型一】幂函数的概念 【典题1】 已知幂函数的图象经过点，则的值为 　． 幂函数过点， ，解得， ，. 巩固练习 1(★) 已知是幂函数，则 . 【答案】 函数是幂函数， 根据幂函数的定义知，，解得，； 所以． 2(★) 幂函数的图象过点，则_________． 【答案】 设，则，所以． 所以．所以． 【题型二】幂函数的图像与性质 【典题1】已知幂函数过点则 (　　) ，且在上单调递减 ，且在单调递增 且在上单调递减 ，且在上单调递增 【解析】幂函数过点， ，解得， ，在上单调递减． 故选：． 【点拨】利用待定系数法求解函数解析式. 【典题2】下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 【解析】①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，比如，故错误； ②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确； ③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误； ④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误； ⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确． 故选：． 【典题3】 已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性并用定义证明； (3)问为何值时有． 【解析】 解：(1)由题易得 (2在上为减函数，在上为增函数 证明：任取，有 , , 在上为增函数． 任取，有 ， , 在上是减函数． (3)当或时，，证明如下 由(1)，两函数都是偶函数，先研究时满足的的取值范围． 令，解得， 又在上是增函数，在上是减函数， 故可得的的取值范围是， 由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数， 故当时，的的取值范围是， 综上当时， 巩固练习 1(★) 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为(　　) ． ． 【答案】 【解析】根据指数函数的单调性，时，， 相应于曲线，，，的依次为． 故选：． 2(★) 函数的图象是(　　) A． B．C． D． 【答案】 【解析】函数的定义域是，排除选项和， 又，曲线应该是下凸型递增抛物线．故选：． 3(★) 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　 　． 【答案】 ， 幂函数为奇函数，且在上递减， 是奇数，且， ． 4(★) 对于幂函数，若，则，大小关系是(　　) ． ． ． ．无法确定 【答案】 【解析】幂函数在上是增函数，图象是上凸的， 当时，应有． 故选：． 5(★★) 已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　) 均为奇数，且 为偶数，为奇数，且 为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，所以为偶数， 且由图象形状判定． 又因互质，所以为奇数．所以选． 6(★★) 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则(　　) 或 【答案】 【解析】幂函数在上是减函数， 则，解得； 又，，，； 当时，，图象关于原点对称； 当时，，其图象不关于原点对称； 当时，，其图象关于原点对称； 综上，的值是或． 故选：． 7(★★) 已知，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】 【解析】 ，，， ，，， 函数在上是增函数，． 故选：． 8(★★) 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则a的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】幂函数在上是减函数， ，解得， ，或． 当时，为偶函数满足条件， 当时，为奇函数不满足条件， 则不等式等价为，即， 在和上都为增函数， 或，解得：， 9(★★) 已知幂函数 (1)若为偶函数，且在上是增函数，求的解析式； (2)若在上是减函数，求的取值范围． 【答案】 (1) ； (2) 或 【解析】(1)幂函数， 又在上是增函数，，解得， 又，， 为偶函数， ①当时，，为奇函数，不符合题意； ②当时，，为偶函