3.2.2 函数的奇偶性（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型一】对函数奇偶性概念的理解 【典题1】 已知是定义在上的偶函数，那么的值是 . 【典题2】函数的图象关于 对称． 【典题3】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) 是奇函数 是奇函数 是奇函数 是奇函数 巩固练习 1(★) 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是________： 2(★) 函数的图象关于(　　) ．原点对称 ．轴对称 ．y轴对称 ．直线y＝x对称 3(★) 若函数是奇函数，则 ( ) A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 4(★) 函数的图象关于(　　)对称 ．原点 ． ．轴 ．轴 5(★★) 设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A． B． C． D． 6(★★) 若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性． 【题型二】函数奇偶性的运用 角度1 已知函数奇偶性，求值问题 【典题1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求. 【典题2】 若函数是奇函数，为偶函数， 则 . 角度2 判断函数的图像 【典题1】 函数的图象大致为(　　) A． B． C． D． 巩固练习 1(★) 已知函数是奇函数，当时，，则 ( ) A． B． C． D． 2(★★) 已知函数f(x)的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是(　　) A．f(x) B．f(x)＝2|x|﹣2 C．f(x)＝2|x|﹣x2 D．f(x)＝2|x|﹣|x| 3(★) 若函数的图象关于轴对称，则常数 . 4(★) 已知函数，，则的值是 . 5(★) 函数为偶函数，则实数的值为　　． 6(★★) 已知函数为定义在上的奇函数，则 . 7(★★) 已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则 . 【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合 【典题1】 已知奇函数在减函数，且，则不等式 的解集为 (　　) 【典题2】 设函数，则使得成立的的取值范围为(　) ． 【典题3】 已知函数是定义域为上的奇函数，且． (1)用定义证明：函数在上是增函数， (2)若实数满足，求实数的范围． 巩固练习 1(★) 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是(　　) ． ． 2(★) 如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　) 减函数且最大值为 增函数且最大值为6 减函数且最小值为 增函数且最小值为6 3(★★) 已知函数满足：①；②在上为增函数，若，且，则的大小关系是( ) A. B． C ． D．无法确定 4(★★) 设定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则的大小关系是(　　) ． ． ． 5(★★) 已知函数，则不等式的解集为 . 6(★★) 已知函数，若，则实数的取值范围　 ． 7(★★★) 已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有 . ；；； 8(★★★) 函数是定义在区间上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明：在区间上是增函数； (3)解不等式：． 原创