3.2.1函数的单调性讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
函数的单调性
一、函数的单调性
1、增减函数的定义：一般的，设函数
定义域为I，如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量
，
增函数：当
时，都有
，就说函数在区间D上是增
减函数：当时，都有
，就说函数在区间D上是减函数
注意：（1）对选取要有任意性
（2）函数单调性是针对单调区间来说的
（3）单调性是不严格的大于或小于，不可以
（4）对于区间端点开闭区间都可以，对于无意义点必须是开区间
（5）单调区间不能取并集，可以写‘和’或‘，’
单调性本质：自变量和函数值的变化趋势情况，一致是增函数，不一致是减函数
理解单调性的的本质，能正确识别函数的变化趋势，从而确定单调性
（如
和
都表示增函数）
【例1】判断题
（1）所有函数在定义域上都具有单调性（×）
（2）若函数
在定义域上有
，则函数是增函数（×）
（3）若函数
在
和
上单调递减，则在
上单调递减.（×）
（4）若函数在实数集
上是减函数，则
（√）
（5）若函数在区间
上是减函数，则函数在区间上的图象是下降的（√）
（6）若存在
，，使
成立，则函数在上单调递增（×）
（7）若函数在区间
上总有
，则函数在区间上单调递增（√）
（8）若函数
在区间
上，自变量和函数值变化趋势总相同，则函数
在区间
上单调递增（√）
【例2】判断下列函数的单调性
（1）
（2）
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（3）
（4）
解：（1）当
时，在R上为增函数
当
时，在R上为减函数
总结：一次函数，一次项系数为正函数为增；系数为负函数为减
（2）当时，在
为减函数，在
为增函数
当时，在为增函数，在为减函数
总结：二次函数单调性决定于开口方向和对称
（3）当时，在为减函数，在
为减函数
当时，在为增函数，在为增函数
总结：反比例函数单调性决定于分子的正负，分子为正单调性不变；分子为负单调性相反
（4）在区间
和
为增函数；在区间
和
为减函数；
判断函数的单调性（单调区间）方法：
图像法：对于熟悉的函数、一次、二次、反比例和能画出图像的函数，可利用图像判断单调性
定义法：（适用于抽象函数和陌生函数）
作差法：①取值，设是该区间任意两个值，且，
②做差，即作
，
③判号，确定的符号，当符号不确定需要讨论，
④定论，得出结论
做差时常用的变形技巧：①因式分解:当原函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解.②通分:当原函数是分式函数时,作差后往往先进行通分,然后对分子进行因式分解.③配方:当原含数是二次函数时,作差后可以考虑配方.④分子有理化:当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化。
运算性质法：
①当a>0时，a与具有相同的单调性，当a<0时，a与具有相反的单调性
②当函数恒为正时（恒为负时），和
单调性相反（如
，
）
③若
，则和
具有相同的单调性（如，
）
④若和
具有相同的单调性，则
的单调性与、相同
⑤若和具有相反的单调性，则
的单调性与相同
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思考题：已知函数
在区间I上都是增函数，则是增函数；现在尝试讨论
在区间上都是增函数，则
,
的单调性？
解：和
与和单调性之间的关系并不确定
：的单调性需要看哪个增长的快慢
：
为增函数，
为减函数
【例3】判断下列函数的单调性
（1）
（2）
（
）
解：利用定义法：
（1）任取,令
，
所以在R上为增函数
（2）任取
,令，
（分子有理化），所以函数在
为增函数！
【例4】判断下列函数的单调性
（1）
（2）
（3）
解：（1）（2）利用运算性质判断函数的单调性
（3）定义域
，
【例5】判断下列函数的单调性
（1）
（2）
解（1）定义域
，方法一：图像平移，图像向右平移一个单位，
方法二：运算性质：
，
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