3.2复合函数和抽象函数的奇偶性讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.9、复合函数和抽象函数的奇偶性

复习：我们之前学习了复合函数的初步，学习了复合函数解析式、定义域、值域的求法

一、 定义域：①自变量要满足内层函数的要求，②内层函数的值域要满足外层函数的要求

二、 值域：由内向外一层一层的求解

三、复合函数的奇偶性（单调性常考，奇偶性不常考）

【例1】若，讨论复合函数，，，奇偶情况

解：为奇函数；为偶函数；为偶函数；为偶函数提炼总结得出结论：

		内层函数
		奇函数	偶函数
外层函数	奇函数	奇	偶
	偶函数	偶	偶

 

 

 

 

 

结论：内外层都为奇函数才是奇函数，内外有偶函数即为偶函数，口诀：全奇则奇，有偶则偶（负号历险记）

【例2】（1）若是奇函数，则下列说法正确的是____

         ①  ②

（2）若是奇函数，则下列说法正确的是____

  ①   ②

 解：（1）②是正确的，因为的自变量是，自变量取相反数时整体取相反数，函

数值是相反数，

（2）①是正确的，因为的自变量是，当自变量取相反数时，函数值是相反数。

                利用对称性解释：是奇函数，则平移前关于点（1,0）的中心对称，而，表示关于点（1,0）对称

【例3】若是定义在上的单调递增函数，则下列四个命题：

        ①若，则

②若，则

③若是奇函数，则也是奇函数

④若是奇函数，则

正确的是________

解：①增函数，且，正确

    ②假设，增函数，则有，则有，与已知不符，②正确

          ③是奇函数，吐负号，所以也是奇函数，正确

          ④是奇函数，。且增函数，故，正确

            故①②③④正确

求抽象函数的奇偶像

判断函数的奇偶性，关键构造出，对于相加的关系式，一般利用关系式，对于相乘得关系一般利用关系式

【例4】（1）设函数的定义域为R，对任意，恒有 成

立，则函数奇偶性是什么？

解：令，得，；令，则有

为奇函数

（2）设函数的定义域，对任意非0的恒有成

立，则函数奇偶性

解：令，解的

              令，，再令解，所以 偶函数

（3）设函数的定义域为R，对任意，恒有且

，则的奇偶性是什么？

          解：令，解的

              令，，，为偶函数

【例5】已知定义在上的函数满足对任意，有

        则（ ）