3.1函数的概念和三要素讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
3.1函数的概念
一、函数的定义：非空的数集
，按照某种确定的对应关系
，使对于集合
中的任意一个数
，在
集合
中都有唯一确定的数
和它对应，那么就称：
为从集合到集合
的一个函数，定义在上的函数。记作：
注意： ①
是非空的数集
②对应关系必须是确定的
③集合元素无剩余，集合元素可以剩余
④对应中元素，中对应元素需要唯一（可以多对一，不可以一对多）
【例1】判断下列是否为函数
（1）
（2）
二、函数的三要素：
1、定义域（域表示集合）：就是集合A，就是范围，
能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域。
注意：两个函数定义域不同，一定是不同的函数，如
2、值域：
对应法则对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合
（值域不是集合，画集合解释，如
值域是
，不是
）
注意:定义域和值域分别相同的两个函数数不一定相等.
【例2】下图形中可以表示以
为定义域，以
为值域的函数图象是( )
解：A值域不是
，B当
时，中无元素与之对应，D不满足唯一性．答案：C
注意：若仅表示函数关系，则A也是正确的
【例3】判断函数中，定义域和值域都相同的有哪些
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（1）
R R
（2）
R 
（3）
（4）
（5）
（6）
3、对应法则：
)即“
是的函数”的数学表示，是自变量,它是对应关系所施加的对象
【例4】设
是集合到集合的函数，如果
，那么
一定是（ ）
无法确定
解：定义域为集合，值域为的子集
，
集合可以含有，1个、2个、3个、4个元素
所以
【例5】集合
，
，下列不能表示从到的函数是（ ）
无法确定
解：集合为定义域，值域
集合，
时，
，
不满足，答案C
三、区间的概念和记号：连续的实数的一种表示形式
闭区间：
，表示
，数轴
开区间：
，表示
，数轴
左闭右开：
，表示
，数轴
左开右闭：
，表示
，数轴
注意：（1）数集是连续的，左小，右大,开或闭不能混淆.用“
”为开区间
（2）注意开区间与点在具体情境中的区别.
（3）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示.
【例6】判断题
1.函数的定义域必须为数集，值域可以为其他集合，(×)
2.任何两个集合之间都可以建立函数关系（×）
3.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数（√）
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4.根据函数的定义，定义域中的每一个可以对应着多个下同的（×）
5.根据函数的定义，值域中的每一个可以与多个对应（√）
6.区间可以表示任何集合（×）
7.函数的定义域和值域定是无限集合（×）
四、定义域和值域的求法
1、定义域
（1）定义域不同一定是不同的函数（如，画出图像）
（2）易错点（提出来，你也没什么感觉，错一错就有感觉了，考试就是暴露问题和解决问题的过程）
（3）函数问题，先想定义域
定义域的限制：
①分式的分母不等于零；
②偶次方根的被开方数不小于零；
③对数式的真数必须大于零；指数式、对数式的底必须大于零且不等于1.（没学）
④
没有意义（如
）
几个限制条件，列几个不等式，取交集
【例7】求下列函数的定义域
（1） 
（2） 
（3） 
（4） 
（5） 
（6） 
（7） 
解：（1）
（2）
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