3.1函数的表示法和分段、复合、抽象函数初步讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2、函数的表示法

一、函数的三种表示方法:解析法；列表法；图像法

1、列表法：就是列出表格表示两个变量的关系

优点:直观、不需要计算

缺点：只能表示出自变量取较少值时的对应关系、不能表示连续的函数

2、图像法：就是用图像表示两个变量的关系

优点:形象、直观的反应函数的变化情况

缺点：只能近似的求出自变量对应的函数值，误差较大

函数图像的做法：①列表；②描点；③连线

3、解析法：就是用数学表达式表示两个变量的关系（）

      优点：①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出任意一个自变量对应的函数值

缺点：不够形象、直观、需要计算、而且并不是所有的函数都能用解析式表示

注意：函数解析式不唯一的（），函数解析式可以分段（引出分段函数）

【例1】以下形式中，不能表示“是的函数”的是(　　)

x	1	2	3	4
y	4	3	2	1

      A、   

                      

 

B、

 

 

 

C、

D、

解：时，，答案：D

【例2】已知，，求，，，

      解：，，

         （）

        思考：函数，可以是一个数、可以是一个变量、也可以是一个解析式（也就是迭代二、分段函数（先分后合看断点）

定义：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，

如，，

理解：1、分段函数是一个函数，而不是几个

2、写分段函数定义域时，区间断点应不重不漏

3、处理分段函数问题是，要首先确定自变量的取值属于哪个范围，然后选取相应的对应关系

4、分段函数的定义域是各端函数的定义域的并集，分段函数的值域是各端函数的值域的并集，

最大（小）值就是整体最大（小）值

分段函数的图形：1、画图像时，先不管定义域的限制，用虚线做图，

2、用实线保留定义域内的部分，端点包含用实心点，不包含用空心圈

【例3】判断题

1、解析式可以表示任意的函数（×）

2、任何一个图形都可以表示函数的图象（×）

3、分段函数就是多个函数（×）

4、任何一个函数都能用列表法表示（×）

5、分段函数有多个定义域（×）

6、分段函数只有一个值域（√）

【例4】（多选）下列关于分段函数说法正确的是（ ）

     A、分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分段函数是几个函数

     B、若，则

     C、是分段函数

     D、分段函数的定义域都是

     解：正确，注意选项的形式也可以表示分段函数，去绝对值或利用绝对值几何意义

【例5】（多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ）

A、              B、

C、              D、

解：正确答案为

【例6】已知函数，若，则_______

     解：，

【例7】设，则（ ）

A、3　  　　　B、1　　  　　C、0　　  　　D、－1

      解：，，答案A

【例8】已知函数，则

     解：，

 

 

【例9】设，则的值为(　　)

A、10　　 　B、11　　 　C、12　  　　D、13

解： 答案：B

【例10】已知，若，________

解法一：画出图像判断

解法二：分类讨论，（1）若（舍）

（2）若（舍）

（3）若（舍）

【例11】设函数，若，则实数________

      解：当时，（舍）

          当时，

【例12】函数，若，则的取值范围是________．

解：方法一：画图

方法二：当时，，解集是；

当时，，此时不等式无解；

当时，，此时不等式无解．

综上，的取值范围是

【例13】已知实数，函数，若，则______