第3章 勾股定理（压轴精选23题）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

第3单元 勾股定理压轴精选23题 一．选择题（共3小题） 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 3．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　 　． 5．如图，BD和AC为四边形ABCD的对角线，AB⊥BD，∠CBD＝60°，BD＝2BC，AD＝8，则AC的最大值为 　 　． 6．如图，点D为△ABC内部的一点，连接AD、BD、CD，AD⊥CD，∠BDA＝∠BDC，且BD＝CD，若∠ABD+2∠ACD＝45°，AD＝1，则线段BC的长为　 　． 7．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝　 　度． 8．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝　 　． 9．如图，在△ABC中AB＝AC＝10，CB＝16，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是　 　． 10．铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如图），已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站　 　km处． 11．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　 　米． 12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　． 三．解答题（共11小题） 13．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab． 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°． 求证：a2+b2＝c2 证明：连接　 　 ∵S五边形ACBED＝　 　 又∵S五边形ACBED＝　 　 ∴　 　 ∴a2+b2＝c2． 14．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝