4.3 角讲义 2023—2024学年北师大版七年级数学上册

4.3 角讲义北师大版七年级数学上册

基础知识详解

知识点一  角的定义

内容 叙述	定义	图形
	角的定义1: 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；如右图，射线OA，OB是角的两边，点O为角的顶点。 角的定义2: 角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。
知识详解	(1)每个角都是由一个顶点和两条边构成的，角的两条边是射线而不是线段，故角的大小不随角的边所画的长短而改变，即与所画的边的长短无关。 (2)射线旋转时，经过的平面部分为角的内部，平面的其余部分为角的外部。 (3)平角与周角：平角是指射线旋转到与起始位置成一直线的角，其特点是两边成一条直线；周角是指射线旋转回到起始位置所成的角，其特点是两边重合成一条射线。
特别提醒	(1) 角的定义1中，两条射线有公共端点才构成角； (2) 平角的特点是两边成一条直线，周角的特点是两边重合成一条射线；但不能认为一条直线就是一个平角，一条射线就是一个周角，线与角有质的不同。
新知 巧记	一点出发两射线，组成图形叫做角。射线绕端点旋转，经过平面构成角。

出题角度1    对角的概念的理解  

例1．下列说法中，正确的是（　　）

A．两条射线组成的图形叫做角

B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形

D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形

解析：根据角的动态定义解答：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．

A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；

B、根据A可得B错误；

C、角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；

D、据C可得D错误．

答案：C．

思维点拨：本题考查了角的动态定义，此类问题还经常考查角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．

针对训练1．角是指（　　）

A．由两条线段组成的图形

B．由两条射线组成的图形

C．由两条直线组成的图形

D．有公共端点的两条射线组成的图形

出题角度2   数角的个数

例2.在图中一共有几个角？它们应如何表示？

分析：分别找出以B、A、C、D、E为顶点的角，然后再将它们表示出来即可．

解：共有7个角，分别是∠A、∠B、∠C、∠ADE、∠BDE、∠AED、∠CED．

解题方法：角的计数方法：数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……

针对训练2. 如图，点C是∠AOB的边OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有　 　条线段，　 　条射线，　  　个小于平角的角．

知识点二   角的表示方法

内容 叙述	角的常用表示方法有四种(前面都加上表示角的符号“∠”)：三个大写字母、一个大写字母、一个数字、一个希腊字母；
知识 详解	图例 记法 适用范围及注意事项 用三个大写字母表示，如∠AOB 任何情况都适用 在用此方法表示角时.表示顶点的或∠BOA，大写字母必须写在中间。 用一个大写字母表示，如∠O 只适用于以这一点为顶点的角只有一个的情况。 用数字1.2.3，…表示，如∠A0B可以记作∠1 任何情况都适用，在用此方法表示角时，要用小弧线标出角的范围，即从哪边到哪边,并标注上数字。 用小写希腊字母α.β，…，如∠A0B可以记作∠α 表示如任何情况都适用，在用此方法表示角时，要用小孤线标出角的范围，即从哪边到哪边，并标注上希腊字母。
特别 提醒	①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”． ②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”． ③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．

出题角度   角的表示方法

例3． 如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　）

A． B． C． D．

解析：根据角的表示方法进行逐一分析，A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；

B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O、∠α及∠AOB表示，故本选项正确；

C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；

D、因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误．

答案：B

思维点拨：角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．

(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．

熟知角的四种表示方法是解答此题的关键．

针对训练3． 下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　）

A． B． C． D．

知识点三   角的分类

内容叙述	平角	一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。 平角的特点是两边成一直线。
	周角	一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角。 周角的特点是两边重合成一条射线。
知识详解	根据角的度数，常把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角等；1周角=2平角=4直角=360°； (1)周角：周角是指射线旋转回到起始位置所成的角，其特点是两边重合成一条射线；周角=360°。 (2)平角：平角是指射线旋转到与起始位置成一直线的角，其特点是两边成一条直线；平角=180°。 (3)直角：角的两边互相垂直的角；直角=90°。 (4)钝角：大于直角而小于平角的角。 (5)锐角：大于零度角而小于直角的角。
特别提醒	(1)我们平常所指的角通常都是小于平角的角。 (2)锐角<直角<钝角<平角<周角 （3）平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．

出题角度1    平角、周角的概念

例4．下列语句正确的是（　　）

A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线  C．小于平角的角是钝角 D．一周角等于四个直角

解析：答题时首先理解角的概念，然后对各选项进行判断．

平角是一个点和两条射线组成，故A错误，

角度和射线不是同一个概念，故B错误，

小于平角的角不一定是钝角，故C错误，

一周角等于360°，一直角等于90°，故D正确，

答案：D

思维点拨：角的概念为：从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角．（1）角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法．（2）在只用几何语言表述而没有图形的情况下，要注意考虑图形的不同情形．

针对训练4．下列说法正确的是（　　）

A．平角就是一条直线                    B．周角就是一条射线

C．平角的两条边在同一条直线上          D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°

出题角度2     各类角间的关系