4.2比较线段的长短讲义 2023—2024学年北师大版七年级数学上册

4.2比较线段的长短讲义北师大版七年级数学上册

基础知识详解

知识点一    线段的性质

内容叙述	文字	图解
	线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短. 简述为：两点之间，线段最短。	如图，在所有连接A,B两点之间的线中，线段AB是最短的。
知识详解	(1)线段的性质中的“连线”是指以画出的两个点为端点的任意一条线,包括曲线、折线、线段. (2)两点间的线段长度叫做两点间的距离.距离是指线段的长度，是一个数值，而不是指线段本身，线段的长度可以用刻度尺度量.
特别提醒	(1)线段的性质与直线的性质容易混淆，要结合具体内容加以区别； (2)两点间的距离与线段有本质的区别，线段是一种图形，而两点间的距离可看成是这两点为端点的线段的长度，是线段的一种属性；

出题角度    两点之间，线段最短

例1.如图所示，由A到B有（1）（2）（3）三条路线，最短的路线选（1）的理由是（　　）

A．因为它是直的 B．两点确定一条直线

C．两点之间，线段最短 D．两点之间距离的定义

解析：最短的路线选（1）的理由是：两点之间，线段最短．

答案：C

思维点拨：熟记两点之间，线段最短是解题的关键．两点之间的所有连线中，线段最短.“连线”是指以画出的两个点为端点的任意一条线,包括曲线、折线、线段.

针对训练1.如图，从A村出发到D村，最近的路线是（　　）

A．A﹣B﹣C﹣D B．A﹣B﹣F﹣D C．A﹣B﹣E﹣F﹣D D．A﹣B﹣M﹣D

知识点二   比较两线段的长短

内容叙述	线段长短的比较有三种方法：	说明
	（1）度量法：分别测量出两条线段的长度，比较测量结果的大小，以此比较线段的长短。	度量法是从“数”的方面比较线段的长短
	（2）叠合法:把其中的一条线段移到另一条上进行比较。	叠合法是从“形”的方面比较线段的长短
	⑶尺规作图比较法：借助尺规直接采用数形结合进行比较	尺规作图比较法与重叠比较法相似。
知识详解	(1)度量比较法：用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比较．（可以用推理的写法，培养学生的推理能力．）  写法如下： 因为  量得AB=××cm，CD=××cm， 所以AB=CD(或AB＜CD或AB＞CD)． (2)叠合比较法： 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点

	的位置．教师为学生演示，步骤有三： ①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合．②线段AB沿着线段CD的方向落下． ③若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD． 若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD． 若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．  从形的角度来比较，比较线段的长短的方法步骤：两条线段的一个端点重合，看另一端点的位置。
特别提醒	运用叠合法时，应正确使用圆规，运用度量法时，应正确使用刻度尺，尽量减小误差；
新知巧记	线段长短的比较，常用方法有两种。度量、叠合均可以，数形体现最为妙。

出题角度   线段的长短比较

例2．比较下列各组线段的长短

（1）线段OA与OB．

（2）线段AB与AD．

（3）线段AB、BC与AC．

 分析：（1）根据两条线段的一端重合，然后比较另一端即可；

（2）在线段AD上截取线段AB即可得出答案；

（3）在线段BC上截取一线段BA'和CA''使其分别与线段BA和CA相等，再在线段AC上截取AB'使其与线段AB相等，即可得出答案．

解：（1）OB＞OA；

（2）有下图可知：

AD＞AB；

（3）有下图可知：

BC＞AC＞AB．

故答案为：OB＞OA；AD＞AB；BC＞AC＞AB．

思维点拨：线段长短的比较，理解比较的方法是关键． 叠合法和尺规作图比较法都是从“形”的角度来进行比较，而度量法是从“数”的角度来进行比较。

针对训练2．如图所示，比较这两组线段的长短．

知识点三    用尺规画线段的和、差

内容叙述	文字语言	图形、符号语言
	两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）。若三条线段中满足两条线段之和等于第三线段，则三点共线。	AC=AB+BC   AB=AC-BC   BC=AC-AB
知识   详解	如图,已知线段a、b,   （1）画出一条线段 , 使它等于a+b  （2）画出一条线段 , 使它等于a-b  方法步骤：（1）①画射线OP; ②在射线OP上顺次截取OA=a,AB=b      即线段OB就是所要画的线段.  （2）①画射线OP;  ②在射线OP上截取OC=a，在射线OC上截取CD=b 线段OD就是所要画的线段.
特别提醒	线段的和、差的具体画法，注意以下问题： (1)先画的图形是已知的线段a，b． (2)画射线的目的是确定整个图形的起点，由于在没有画完的情况下，终点不能确定，而这种只有起点而没有终点的状态，只有用射线描述最为合适． (3)“顺次截取”就是要沿着射线的方向，从起点开始，依照计算的顺序截取． (4)线段的和、差在画图中的区别：“和”是在截取时不改变方向．而“差”在截取时的方向是变化的．（5）最后一定要写出答语。

出题角度1    用尺规画线段的和、差

例3．如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．

（1）画一条线段，使它等于a+b；

（2）画一条线段，使它等于a﹣c；

并用字母表示出所画线段．

分析： （1）先画一条直线l用圆规依次截取线段AB=a、BC=b（C在AB外），则线段AC即为所求；

（2）先画一条直线l用圆规截取线段AB=a、BC=c（C在AB内），则线段AC即为所求．

解：（1）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线与B点，再以B为圆心，以线段b的长为半径画圆，交l于点C（C在AB外），则线段AC即为所求；

如图所示：

（2）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线与B点，再以B为圆心，以线段c的长为半径画圆，交l于点C（C在AB内），则线段AC即为所求；

如图所示：

分析：

 

 

 

 

解：小蚂蚁要沿着棱爬到B处，最短的路线有6条，

理由：将正方体展开小蚂蚁A与B的位置如图所示，根据两点之间的所有连线中，线段最短，可知此路径最短．

解题方法：立体图形中求两点间的最短路径的方法：先将立体图形的展开图画出来，然后利用“两点之间线段最短”，连接两点就可求得最短路径。

 

 

能力拓展二      计算线段长度的方法技巧

1.逐段计算法

例2． 已知线段AB=12，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，点E在线段AB上，且CE=AC，请画出草图并计算DE的长．

分析：先根据题意求出AC、BC、CD、BD的长，再根据当点E在点C左边与当点E在点C右边两种情况解答．

解：∵线段AB=12cm，点C为AB中点，∴AC=BC=AB=×12=6cm，

∵点D为BC中点，∴CD=BD=BC=×6=3cm，

∵CE=AC，∴CE=×6=2cm，

∴当点E在点C左边时，DE=CD+CE=3+2=5cm；

当点E在点C右边时，DE=CD﹣CE=3﹣2=1cm．

思路归纳：解几何问题时，在只有数量关系而没有给出图形的情况下，往往要对可能出现的情况进行分类讨论。如本题中分点E在点C的左侧和点E在点C的右侧进行讨论．

2.设参数求解法

例3．已知数轴上，点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5厘米，求AB的长为            ．

解析：