2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 2023—2024学年湘教版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程根与系数的关系 复习导入 一元二次方程 1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠ 0） 2.方程的判别式： △= b2-4ac 3.当∆≥０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根. 4.求根公式为：x　　　　 什么叫做两个多项式相等？ 题：x2-ax+3=x2+2x+b 则 a= ，b= . 定义：两个多项式分别经过合并同类项后，若对应项系数都相等，则称这两个多项式相等. 复习导入 问题1：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c = 0（a≠0）的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？ 方 程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-2x=0 0 2 x2-5x-6 =0 x2+3x-4 =0 （1）先解方程，再填表；想想两根之和、两根之积与a、b的关系，完成填空： 由上表猜测：若方程ax2+bx+c = 0（a≠0） 的两个根为x1，x2，则x1+x2 = ，x1x2= . 6 -1 2 0 1 -4 5 -6 -3 -4 - 探究新知 4 探究新知 问题2：方程x2-5x+6=0的两根为x1= ，x2= ， 根据2.2节例8下面的一段话，得x2-5x+6=(x- )(x- ) 对于方程ax2+bx+c =0（a≠0），当Δ≥0时，该方程根与它的系数之间有什么关系呢？ 当Δ≥0 时，设ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个根为x1，x2，则 ax2+bx+c =a(x- ) (x- ) =a[x²-（ + ）x+ ] 又ax2+bx+c=a（x²+） 于是x²+=x²- (+ )x+ 得=-（ + ）， =（ ·）. + =-， ·= 2 3 3 2 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0) 当△时，方程有两个不等的实数根：，计算x1+x2，x1x2的值。 探究新知 △时， x1+x2，x1x2 的值呢？ 6 知识要点 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间具有如下关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即 + =， ·= . 这个关系通常被称为韦达定理. 一元二次方程的根与系数的关系 问题1：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c = 0（a≠0）的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？ 方 程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-2x=0 0 2 x2-5x-6 =0 x2+3x-4 =0 （1）先解方程，再填表；想想两根之和、两根之积与a、b的关系，完成填空： 由上表猜测：若方程ax2+bx+c = 0（a≠0） 的两个根为x1，x2，则x1+x2 = ，x1x2= . 6 -1 2 0 1 -4 5 -6 -3 -4 探究新知 8 典例精析 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积. （1）2x2-3x+1=0， （2）x2-3x+2=10， （3）7x2-5=x+8. 要先将方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值. 解：∵a=2，b=-3，c=1 ∴+=-=， ·==. 解：原方程化为一般式： x²-3x-8=0 ∴+=-=3， ·==8. 解：原方程化为一般式： 7x²-x-13=0 ∴+=-=， ·==. 当堂练习 在使用根与系数的关系时：（1）不是一般式的要先化成一般式； （2） 在使用x1+x2=－时，“- ”不要漏写. 1.下列方程的两根和与两根积各是多少？ （1） x2-6x+1=0 ； （2） 2x2-x=6； （3）2x2+3x=0； （4）3x2=1 . 解：（1）+=-=6，·==. （2）+=-，·==-. （3）+=-，·==. （4）+=0，·=-. 若ax2bxc0 （a0 0） （1）若两根互为相反数， （2）若两根互为倒数， （3）若一根为0， （4）若一根为1， （5）若一根为-1， （6）若a、c异号，方程一定有两个实数根. 知识要点 则b0 则ac 则c0 则abc0 则abc0 典例精析 例2 已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。 解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2，则 -3+x2=-3 解得x2=0 由根与系数之间