专题 二次函数的压轴题专训（一）等腰三角形存在性问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 专题 二次函数压轴题专训（一） ------------- 等腰三角形存在性问题 ★★★方法指引： 解决二次函数等腰三角形存在性问的方法： 1、弄清题意，若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，则有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况； 2、借助动点所在图形的解析式，表示出动点坐标； 3、按分类的情况，利用几何知识建立方程（组），求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 典型题训练 1．（2023•双柏县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），点B的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以AM为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022•雁塔区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． （3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q的横坐标． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M（0，﹣8），与x轴交于A、B（4，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若将该抛物线沿着x轴向左平移4个单位，新抛物线顶点为点D，与x轴交于A1，B1两点（点B1在A1的左边）若点Q是y轴上一动点，当点Q，D，A1构成等腰三角形时，请求出点Q的坐标． 6．如图，已知抛物线yx+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 7．（2022秋•新丰县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上确定一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为（1，﹣4），直接y＝x﹣2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）若PE＝3EF，求m的值； （3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 9．（2023•昭阳区校级模拟）已知二次函数y＝（m+2）m+3． （1）求m的值． （2）当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ （3）若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023•扎兰屯市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； （3