13.3.2等边三角形(第2课时) 含30º°角的直角三角形的性质（学案+作业设计+当堂测试）-【备教学评一体化】2023-2024学年八年级数学上册课堂教学精品系列（人教版

13.3.2等边三角形(第2课时) 含30º°角的直角三角形的性质当堂测试 1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AC，若，则DE的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【考点】含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC+∠C＝90°，再利用角平分线的定义可得∠BAD＝∠DAE，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而可得∠DAE＝∠C，进而可得∠BAD＝∠DAE＝∠C，最后可得∠BAD＝30°，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出BD的长，从而利用角平分线的性质可得DB＝DE，即可解答． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴∠BAC+∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAE， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴∠DAE＝∠C， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠C， ∵∠BAD+∠DAE+∠C＝90°， ∴∠BAD＝30°， ∵AB＝， ∴BD＝＝＝1， ∵AD平分∠BAC，DB⊥BA，DE⊥AC， ∴DB＝DE＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则∠A＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【考点】含30°角的直角三角形的性质 【分析】在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半，反之亦然，根据以上内容得出即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC， 即BC＝AB， ∴∠A＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能熟记知识点的内容是解此题的关键， 3.在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB上，且BD＝，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的长是 　3或或　． 【答案】3或或　 【考点】含30°角的直角三角形的性质，勾股定理 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得BC的长，根据勾股定理可得AB的长，进一步可得AD的长，分情况讨论：①当点P在AC边上时，②当点P在BC边上时，③当点P在AB边上时，分别求解即可． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8， ∴BC＝AC＝4， 根据勾股定理，得AB＝＝， ∵BD＝， ∴AD＝﹣＝， ①当点P在AC边上时，如图所示： ∵∠A＝30°，AP＝2PD， ∴PD⊥AB， 设PD＝x，则AP＝2x， 根据勾股定理，得， 解得x＝3或x＝﹣3（舍去）， ∴PD＝3； ②当点P在BC边上时，如图所示： ∵∠B＝90°， ∴PD2﹣BD2＝PA2﹣AB2＝PB2， ∴PA2﹣AB2＝PD2﹣BD2 ∴（2PD）2﹣（）2＝PD2﹣（）2， ∴PD＝或PD＝﹣（舍去）； ③当点P在AB边上时，如图所示： ∵AD＝，AP＝2DP， ∴3PD＝， ∴PD＝， 综上所述，PD的值为3或或， 故答案为：3或或． 【点评】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论． 4.．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，AB＝3，则CD＝　6　cm． 【答案】6 【考点】含30度角的直角三角形性质和三角形的外角、等腰三角形的性质 【分析】根据含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理求出CD＝DA＝2AB＝6cm． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝15°，∠ADB＝30°， ∴∠CAD＝15°， ∴CD＝DA＝2AB＝6cm． 故答案为：6． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质和三角形的外角、等腰三角形的性质的应用，熟练掌握这些性质是解题的关键． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长是 　3　． 【答案】3 【考点】含30度角的直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝30°，再根据垂直定义可得∠BDC＝∠ADC＝90°，从而可得∠BCD＝30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝4，进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴BC＝