13.3.2等边三角形(第1课时)等边三角形的性质与判定（学案+作业设计+当堂测试）-【备教学评一体化】2023-2024学年八年级数学上册课堂教学精品系列（人教版

13.3.2等边三角形(第1课时)等边三角形的性质与判定作业设计 【基础达标作业】 1.已知，周长为9的△ABC为等边三角形，则△ABC的面积是（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，首先求出等边三角形ABC的边长为3，再根据等边三角形的性质得，据此可求出高AD，进而可得出△BC的面积． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°， 又∵△ABC的周长为9， ∴AB+BC+CA＝9， ∴AB＝BC＝CA＝3， ∵AD⊥BC， ∴， 在Rt△ABD中，AB＝3，， 由勾股定理得：， ∴． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质和三角形的面积公式是解答此题的关键． 2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且∠BDE＝∠CDF＝60°，则图中与BD相等的线段（不包含BD）一共有（　　） A．4条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质判断出△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，由等边三角形的性质得到答案． 【解答】解：如图，连接EF． ∵等边△ABC中，AD是BC边上的高， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵∠BDE＝∠CDF＝60°， ∴∠ADE＝∠ADF＝30°， ∴∠EDF＝60°， △AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形， ∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD， 即图中与BD相等的线段有7条． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质．由已知判定△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形是解答本题的关键． 3.如图，在等边△ABC中，AC＝12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP＝5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 　13　． 【答案】13 【分析】作点P关于AB的对称点P′，连接CP′，交AD于点N′，交AB于点M′，连接PM′，BN′，连接AP′，根据等边三角形的性质得出AC＝AB，∠BAC＝60°，根据三线合一得出AD⊥BC，，证明AD垂直平分BC，得出BN′＝CN′，根据轴对称的性质得出AP′＝AP＝5，PM′＝P′M′，∠P′AB＝∠DAB＝30°，证明△ACP′为直角三角形，得出，根据PM′+M′N′+BN′＝P′M′+M′N′+CN′＝P′C，由两点之间线段最短，得出当点M在M′处，点N在N′处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P′C的长度，即最小值为13． 【解答】解：作点P关于AB的对称点P′，连接CP′，交AD于点N′，交AB于点M′，连接PM′，BN′，连接AP′，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，， ∴AD垂直平分BC， ∴BN′＝CN′， ∵点P关于AB的对称点为P′， ∴AP′＝AP＝5，PM′＝P′M′，∠P′AB＝∠DAB＝30°， ∴∠P′AC＝60°+30°＝90°， ∴△ACP′为直角三角形， ∴， ∴PM′+M′N′+BN′＝P′M′+M′N′+CN′＝P′C， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在M′处，点N在N′处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P′C的长度，即最小值为13． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 4.如图，等边△ABC的边长为，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC的动点，EM+CM的最小值为 　9　． 【答案】9 【分析】连接BM，过B作BH⊥AC于H，由等边三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝，BM＝CM，进而得到EM+CM＝BM+CM，当B、M、E三点共线时，且BE⊥AC时，EM+CM有最小值，此时EM+CM＝BH，利用勾股定理计算可得． 【解答】解：连接BM，过B作BH⊥AC于H， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝， ∴BM＝CM， ∴EM+CM＝BM+CM，当B、M、E三点共线时，且BE⊥AC时，EM+CM有最小值，此时EM+CM＝BH， ∴BH＝AD＝， 故答案为：9． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的计算，正确理解等边三角形的性质是解题的关键． 5.如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E、F两点，求证：△OEF是等边三角形． 【分析】根据等边三角形角平分线的性质，可得