专题2.6 基本不等式专题中的15个经典题型和方法-2023-2024学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.6 基本不等式专题中的15个经典题型和方法 【基础知识】 1 【考点1：公式法】 2 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 3 【考点3：分离常数构造“对构型”】 3 【考点4：“1”的代换】 4 【考点5：“有和有积”型】 4 【考点6：单分母构造型】 5 【考点7：双分母构造型】 6 【考点8：分离常数再构造型】 6 【考点9：因式分解型】 7 【考点10：反解代入型】 7 【考点11：同除消去型】 7 【考点12：代换构造对构型】 8 【考点13：换元法】 8 【考点14：三元型】 9 【考点15：裂项型】 9 【基础知识】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：≥ ≥≥； 3.已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值， “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6对勾型 ，； 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 7对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化； 8.“1”的代换 利用常数代换法，多称之为“1”的代换； 9.几个重要不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）_或（）； （5） 【考点1：公式法】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（2023·安徽·高二学业考试）若，都为正实数，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（多选）（2023秋·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考期中）已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（    ） A．周长的最大值为 B．周长的最小值为 C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。 1．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）设，，且，则的最小值是 . 2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数满足，则的最小值是 . 3．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考开学考试）设实数满足，函数的最小值为 . 4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为 . 【考点3：分离常数构造“对构型”】 对勾型： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如. 1．（2021秋·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2020秋·安徽六安·高二六安一中校考开学考试）若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 3．（2022秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知，则函数的最小值是 ． 4．（2021秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【考点4：“1”的代换】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2） 可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 1．（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）设，，且，则的最小值是 . 3．（2023·安徽蚌埠·统