精品解析：甘肃省2023届高三第一次高考诊断理科数学试题

2023年甘肃省第一次高考诊断考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 名男生和名女生站一排照相，则名女生互不相邻且都不站两端的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知焦点在轴上双曲线，焦距长为，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的倍，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（ ） A. 172 B. 183 C. 191 D. 211 8. 长方体中，棱，且其外接球的体积为，则此长方体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则满足的正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 12. 设函数，，，．记，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若实数满足约束条件则最大值是___________. 14. 已知向量，，若与共线且方向相反，则__________． 15. 某医药厂对一台口罩机生产的口罩标准尺寸进行统计，发现口罩的尺寸误差近似服从正态分布（误差单位：），已知尺寸误差的绝对值在内的口罩都是合格口罩．若该口罩机在某一天共生产了15000个口罩，则其中合格的口罩总数约为__________． 附：随机变量服从正态分布，则，． 16. 在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为___________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数． 18. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）为进一步了解这名学生阅读时间分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 19. 如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱． （1）若点棱上，且，证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20 已知动圆过定点，且与直线相切． （1）求动圆圆心的轨迹的方