第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（人教版）

22.3　实际问题与二次函数 第1课时　几何图形的最大面积问题 教学目标 1．能够从实际问题中抽象出二次函数关系. 2．会运用二次函数知识求实际问题中的最大值或最小值，解决实际问题. 3．会运用二次函数知识求实际问题中的最大值或最小值，解决实际问题. 教学重难点 重点：探索图形面积与二次函数之间的关系，并运用二次函数的知识求出几何图形面积的最值. 难点：顺利将实际问题转化为二次函数问题，构建正确的数学模型. 教学过程 导入新课 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1)y＝x2-2x-3(公式法)； (2)y＝-x2-3x+4(配方法). 师生活动：教师用多媒体展示以上两个问题，学生独立完成. 【解】(1)开口方向:向上；对称轴为直线x＝1；顶点坐标（1，-4）；最小值为4； (2)开口方向:向下；对称轴:直线x＝；顶点坐标；最大值为. 探究新知 一、预习新知 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ 师生活动：教师用多媒体展示以上实际问题，并出示以下三个问题引发学生进行思考，引导学生将实际问题转化为数学问题，体验数学建模的过程. 思考1：矩形面积公式是什么？ 思考2：如何用l表示另一边？ 思考3：面积S的函数关系式是什么？ 二、合作探究 师生活动：学生独立思考后小组内交流互学，通过解决以上三个问题，最终得到实际问题的解. 【解】矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长为(30-l) m,场地的面积S＝l(30-l), 即S＝-l2+30l(0＜l＜30) . 当l＝＝15时，S有最大值＝225. 也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大. 例1　如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长34 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【问题探索】 思考1：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 思考2：面积S的函数解析式是什么？ 思考3：如果设垂直于墙的篱笆长为x m，自变量x的取值范围是什么？墙长34 m对x有什么限制作用？ 思考4：x为何值时面积取得最大值？ 【解】设垂直于墙的菜园边长为x m，则平行于墙的边长为（60-2x）m，由题意，得 S＝x（60-2x）＝-2x2+60x(13≤x＜30). 当x＝＝15 m时，S最大值＝＝450 m2. ∴ 这个矩形垂直于墙的边长为15 m时，矩形面积最大为450 m2. 【总结】解决矩形面积最大的问题，要先设出矩形的一条边长，再根据题目中的数量关系，表示出相邻的边长，最后根据矩形面积公式列出面积与所设未知数之间的函数关系式，同时注意自变量的取值范围，最后根据最值公式，求出最大面积. 【变式1】 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长22 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【问题探索】 思考1：仿照例1设未知数、列函数解析式. 学生思考后回答：设垂直于墙的边长为x m，则S＝x（60-2x）＝-2x2+60x. 思考2：若设与墙平行的一边为x m，则另一边如何表示？ 学生思考后回答：设平行于墙的边长为x m，则另一边为m. 思考3：若设平行于墙的边长为x m，当x＝30时，S是否取得最大值? 学生思考后回答： ,30 m＞22 m, 所以此时围不出矩形菜园，S不能取到最大值. 思考4：自变量x的取值范围是什么？ 学生思考后回答：0＜x≤22. 思考5：如何确定面积S的最大值？ 由于30 m＞22 m，此时应根据增减性来求最值，当x＜30时，y随x的增大而增大，∴ 当x＝22时，矩形面积最大为418 m2. 【解】设平行于墙的菜园边长为x m，则垂直于墙的边长为m，由题意，得 (0＜x≤22). ∵ ＝30＞22，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴ 当x＝22时，矩形面积最大为418 m2. ∴ 这个矩形平行于墙的边长为22 m时，矩形面积最大为418 m2. 【总结】（1） 实际问题中求解二次函数最值问题时，函数的最值要考虑自变量的取值范围； （2）当自变量的取值包含顶点时，函数的最值在函数的顶点处取得； （3）当自变量的取值不包含顶点时，函数的最值一般在端点处取得，此时要考虑函数的增减性. 例2　某建筑的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？ 【互动探索】(引发学生思考)解决此类题的关键是将实际问题转化为数学问题，其中“窗户通过的光线最多”应转化为求什么？ 【解】由题意可知，4y＋×2πx＋7x＝15. 化简，得y