第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（人教版）

22.2　二次函数与一元二次方程 教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根． 教学重难点 重点：理解方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 难点：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教学过程 导入新课 问题:如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h＝20t-5t2. 问题1:小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ 问题2:小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 问题3:小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ 问题4:小球从飞出到落地要用多少时间？ 师生活动：教师引导学生将以上实际问题转化为数学问题，学生小组讨论后发现以上问题都可以转化为方程解决.通过师生共同讨论，发现知道二次函数的函数值求自变量的取值，就相当于解一个一元二次方程. 问题1：转化为解一元二次方程15＝20t-5t2. 师生活动：通过解方程，得到两个解，t1＝1，t2＝3， 所以当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m. 问题2：转化为解一元二次方程20＝20t-5t2. 师生活动：通过解方程，得到两个解，t1＝t2＝2，所以当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 教师：为什么只在一个时间小球的高度为20 米？ 学生：讨论得出，此时小球到达了最高点. 问题3：转化为解一元二次方程20.5＝20t-5t2. 师生活动：通过解方程发现此方程无解，所以小球飞行高度不可能到达20.5 m.教师通过上一题的结论，进一步引导学生从实际问题的角度思考为什么方程无解，原因是小球飞行的最高高度为20 m，小于20.5 m. 问题4：转化为解一元二次方程0＝20t-5t2. 师生活动：通过解方程，得到两个解，t1＝0，t2＝4，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.所以小球从飞出到落到地面用了4 s. 探究新知 探究一 ：深入讨论二次函数与一元二次方程的关系 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y＝x2-x+1;(2)y＝x2-6x+9; (3)y＝x2+x-2. 师生活动：教师带领学生观察函数图象，得到函数图象与x轴交点的纵坐标为0，反过来，要求函数图象与x轴的交点横坐标，就是求当函数值为0时的自变量取值.学生独立完成下列表格后，小组内交流. 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴的交点个数 交点坐标 相应的一元二次 方程的根 y＝x2-x+1 0个 无 方程x2-x+1＝0无解 y＝x2-6x+9 1个 （3，0） 方程x2-6x+9＝0的解为x1＝x2＝3 y＝x2+x-2 2个 （1，0）和（-2，0） 方程x2+x-2＝0的解为x1＝1，x2＝-2 师生活动：通过以上探究，教师引导学生发现二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点个数，由b2-4ac的取值情况决定. 教师引导学生完善下表： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点个数 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况 b2-4ac的符号 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 【归纳总结】通过本探究活动，引导学生建立二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点、方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的情况、b2-4ac的符号三者之间的对应关系. 例1　已知二次函数y＝x2-(a-1)x＋a-2，其中a是常数． (1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点； (2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积． 【问题探索】师问：要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？求四边形ABCD的面积，需要确定四边形的底和高，如何确定四边形的底和高？学生回答：要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．要求四边形的面积，可利用x轴，将一个四边形分成两个三角形