第二十一章 一元二次方程 21.2.1 配方法（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（人教版）

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 教学目标 1.会利用直接开平方法解形如的方程. 2.初步了解形如方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法. 教学重难点 重点：把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 难点：运用直接开平方法解形如或的方程.教学过程 导入新课 【问题情境1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果AB＝6 cm，BC＝12 cm，P，Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？ 师生活动：教师出示问题，学生独立思考后，小组进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.在求解时，方程如果学生存在困难，教师可提出如下问题. 教师追问：什么是平方根？ 师生活动：学生根据教师提出的问题独立思考后进行回答.根据平方根的意义教师引导学生求出方程的解. 【解】设秒后△PBQ的面积等于8 cm2,则PB＝，BQ＝2， 依题意，得，即＝8.根据平方根的意义， 得＝,即＝,＝-, 经验证，-都是方程的根，但移动时间不能为负值， 所以秒后△PBQ的面积等于8 cm2. 探究新知 合作探究 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. 师生活动：教师先引导学生判断上面方程是否为一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程. 【解】（1）根据平方根的意义，得x1＝2, x2＝-2. （2）根据平方根的意义，得x1＝x2＝0. （3）根据平方根的意义，得x2＝-1，所以方程无解. 教师追问1：类似地，你能给出下列方程的解吗？ 教师追问2：上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 师生活动：学生口答解方程的过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书. 【归纳总结】一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当 时,因为对任意实数，都有，所以方程无实数根. 新知应用 例1　利用直接开平方法解下列方程: 师生活动：学生独立思考后，选两名学生口答解题过程，然后师生一起进行评价. 【解】（1）， 直接开平方，得， ∴ . （2）移项，得， 直接开平方，得， ∴ . 例2　对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程？ 师生活动：学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与 没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程进行求解. 教师追问：结合例1、例2，思考具备什么形式才能直接开平方以及直接开平方法的步骤. 师生活动：学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书. 【归纳总结】具备或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后利用平方根的意义直接求解. 例3　解下列方程： 师生活动：先让学生独立学习，选三名学生板演解方程的过程，并进行评价，给出规范格式，完成例题. 【解】（1）∵是7的平方根， ∴ . ∴ （2）∵是16的平方根， ∴ , 即或, ∴ ，. （3）移项，得， 两边都除以2，得. ∵ 是9的平方根， ∴ ， 即或. ∴ 教师追问：利用直接开平方法应该注意什么问题？ 师生活动：教师组织小组交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评. 【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或的形式的方程，可得方程的根为或. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 课堂练习 1.下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A. B. C. D. 2.对形如的方程，下列说法正确的是（ ） A.直接开平方得 B.直接开平方得 C.当时，直接开平方得 D.当时，直接开平方得 3.若，则＝ _________． 4.关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是___________. 5.用直接开平方法解一元二次方程:. 小明的解答如下