第二十四章 圆 24.1.4 圆周角（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（人教版）

24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 教学目标 1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题. 2.理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质. 教学重难点 重点: 1.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题；2.理解圆内接四边形及其性质. 难点：了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”. 教学过程 导入新课 【问题】 指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？ 探究新知 1.圆周角 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 教师追问：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. （1） (2) (3) （4） (5) (6) 师生活动：(引发学生思考)要判断一个角是否为圆周角，那么这个角应该满足什么条件？ 【解】（1）不是，顶点在圆内；（2）不是，顶点在圆外；（3）不是，边AC没有与圆相交；（4）是；（5）不是，顶点在圆内，且此角是圆心角；（6）是. 【归纳总结】(学生总结，老师点评）要判断一个角是不是圆周角，关键判断这个角是否满足两个条件：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交. 2.圆周角定理及其推论 【问题情境1】 （1）图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系？ （2）是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？如果不是，需要满足什么样的条件呢？ 师生活动：小组讨论，学生一时可能难以找到证明的方法，教师引导，可以直接把第一种圆心在圆周角边上的特殊情况投影出来，让学生观察，找出两个角之间的关系. ①当圆心O在∠BAC的一边上时（特殊情形），如图1： 图1 图2 ②圆心O在∠BAC的内部时,如图2： ③当圆心O在∠BAC的外部时,如图3： 图3 【归纳总结】 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【问题情境2】如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.若＝，则∠1与∠2是否相等，为什么？ 师生活动：学生思考，教师引导. 【解】∠1＝∠2，理由如下： 连接DO,AO,BO. ∵ ＝,∴∠AOB＝∠AOD. 又∠1＝ ∴∠1＝∠2. 【归纳总结】 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 教师追问：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.若AC是直径，∠ADC＝ ，∠ABC＝ . 师生活动：学生独立思考，回答问题，教师点评. 【归纳总结】 推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【新知应用】 例1　如图，⊙O的直径AC为10 cm，弦AD为6 cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB，BC的长. 师生活动：(引发学生思考)圆周角定理及两个推论的应用. 【解】（1）∵ AC是直径，∴ ∠ADC＝90°. 在Rt△ ADC 中，由勾股定理得(cm). (2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC＝90°. ∵BD平分∠ADC,∴∠ADB＝∠CDB. 又∵∠ACB＝∠ADB ,∠BAC＝∠BDC . ∴ ∠BAC＝∠ACB, ∴ AB＝BC. 在Rt△ABC中，∵ , ∴ AB＝BC ＝. 【归纳总结】由推论2得直径所对的圆周角等于90°，由勾股定理求线段的长度、解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 3.圆内接四边形及其性质 （1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，五边形ABCDE为⊙O的内接五边形.⊙O是五边形ABCDE的外接圆. （2）圆内接四边形的性质 师生活动：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 . 师生活动：学生先独立思考，再小组内讨论、合作学习，然后教师组织学生交流，进行汇报. 【证明】连接OB，OD. ∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为， 又和所对的圆心角的和是周角， ∴∠A+∠C＝360°÷2＝180°. 同理∠B+∠D＝180°. 【归纳总结】 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 【拓展延伸】 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠D