第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（人教版）

24.1 圆的有关性质 24.1.3　弧、弦、圆心角 教学目标 1.理解并掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系定理. 2.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，学习圆心角、弧、弦之间的关系定理. 3.通过探索圆心角、弧、弦之间的关系，培养探索精神，体会分类讨论思想在数学中的应用. 教学重难点 重点: 探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题. 难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义. 教学过程 导入新课 问题情境：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形能与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 师生活动：学生观察图形思考，并回答问题，教师引导. 【归纳总结】圆是中心对称图形. 教师追问：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ 【归纳总结】圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与圆重合，这是圆的旋转不变性. 探究新知 1.圆心角 （1）定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB . （2）圆心角∠AOB 所对的弧为. （3）圆心角∠AOB 所对的弦为AB. 辨析概念：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 　　　　　　 (1) （2） （3） （4） 师生活动：学生根据圆心角的定义回答问题，教师引导强调概念. 【解】（1）不是，顶点不在圆心； （2）不是，顶点在圆外； （3）不是，顶点不在圆心； （4）是圆心角. 【归纳总结】圆心角的顶点在圆心上. 2.弦与圆心角的关系定理 【问题情境】在⊙O中，当圆心角∠AOB＝∠COD，那么他们所对的弦AB和弦CD相等吗？所对的和相等吗？为什么？ 师生活动：(引发学生思考)如何证明线段相等？如何证明两条弧相等？ 【解】∵ 圆具有旋转不变性， 把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OC重合, ∠AOB＝∠COD，∴ 射线OB与OD重合. 又∵ OA＝OC,OB＝OD, ∴ 点A与点C重合，点B与点D重合， ∴ AB与CD重合，和重合， ∴ AB＝CD, ＝. 【归纳总结】 ( 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ①∠AOB＝∠COD② ③ 3.弧、弦与圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 【归纳总结】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.即知一得二. 教师追问：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 师生活动：学生小组讨论，在教师的引导下，举出反例. 【解】不可以，如图. 【新知应用】 例1　如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，且AD＝CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？ 师生活动：学生先独立思考，尽量自己完成，教师巡视，个别指导，引导学生分析题目.∵∠AOD与∠BOE是对顶角，∴∠AOD＝∠BOE，利用弧、弦与圆心角的关系定理得AD＝BE,再利用等量代换即证. 【解】BE＝CE. 理由：∵ ∠AOD＝∠BOE， ∴ AD＝BE. 又∵ AD＝CE，∴ BE＝CE. 【归纳总结】(学生总结，老师点评)通过观察图形，得到∠AOD＝∠BOE，利用弧、弦与圆心角的关系定理解决问题. 例2　如图，在⊙O中, ，∠ACB＝60°,求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 师生活动：学生独立思考，教师加以引导，由,得AB＝AC,则△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC,从而得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 【证明】∵ ， ∴ AB＝AC，∴ △ABC是等腰三角形. 又∠ACB＝60°，∴ △ABC是等边三角形, ∴ AB＝BC＝AC.∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 【互动总结】弧、弦与圆心角的关系定理的简单应用. 例3　如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证： . 师生活动：(引发学生思考)求证，由弧、弦、圆心角的关系定理，可以转化为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？ 【证明】如图，连接OC，OD. ∵ AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，∴ OM＝ON. ∵ CM⊥AB，DN⊥AB，∴ ∠OMC＝∠OND＝90°. 在Rt△OMC和Rt△OND中，∵ ∴ Rt△OMC≌Rt△OND(HL)， ∴ ∠COM＝∠DON，∴ . 【归纳总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为