第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（人教版）

24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 教学目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 教学重难点 重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 教学过程 导入新课 宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 教师提问：在切蛋糕的过程中，你有什么发现？ 探究新知 合作探究 1.动手操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 师生活动：学生按要求进行操作，教师引导发现规律. 教师追问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 【归纳总结】圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 教师强调：圆的对称轴是任何一条直径所在的直线，不是线段. 2.垂径定理及其推论 （1）垂径定理 问题情境： 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 师生活动：学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧，教师巡视并指导. 【解】相等线段: AE＝BE. 相等劣弧：＝,＝. 理由：连接OA,OB，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，与重合，与重合. 教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？ 师生活动：学生小组交流讨论，师生归纳，教师最后整理并板书. 【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 教师追问：能不能用所学过的知识证明垂径定理？ 师生活动：(引发学生思考)要证明垂径定理，已知条件是什么？结论是什么？用什么方法证明? 【解】已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM＝BM，. 证明：如图，连接OA，OB. ∵ OA＝OB，CD⊥AB， ∴ AM＝BM. 又∵ ⊙O关于直径CD对称， ∴ A点和B点关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合， 因此. 同理得到. 【归纳总结】根据图形写出已知和求证，再构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质“三线合一”，从而证得结论成立. 推导格式 ∵ CD是直径，CD⊥AB，垂足为E， ∴ AE＝BE，. 定理辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 　　 1 ② ③ ④ 师生活动：(引发学生思考)垂径定理具备的条件. 【解】图①具备；图②不具备，因为没有垂直；图③具备；图④不具备，因为CD没过圆心. 【归纳总结】(学生总结，老师点评)垂径定理具备的条件是过圆心且垂直，两个条件缺一不可. 【归纳】垂径定理的几个基本图形： 　　　 1 ② ③ ④ （2）垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推导格式 教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳. 【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直. 一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.O A B D C ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）； ④平分弦所对优弧； ⑤平分弦所对劣弧. 　　 　　 　　　 【新知应用】 例1　如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于点D，DC＝2 cm，求半径OC的长. 师生活动：学生尝试解决，教师引导.求OC，即求半径，可在Rt△AOC中利用勾股定理求得. 【解】如图，连接OA. ∵ CE⊥AB 于点D， ∴. 设OC＝x cm，则OD ＝（x-2）cm. 根据勾股定理，得 ，解得x＝5. 即半径OC 的长为5 cm. 【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题，常常需要作垂直于弦的直径或半径，连接弦的端点与圆心作半径，这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式：. 例2　一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高). 师生活动：学生先审题，可以小组讨论，教师引导学生思考，要求此时的水深，即阴影部分的弓形