第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第二章 一元二次方程 4 用因式分解法求解一元二次方程 教学目标 1.掌握用因式分解法解一元二次方程. 2.通过复习用配方法、公式法解方程寻求更简单的解一元二次方程的方法，并应用因式分解法解决一些具体问题. 3.通过学习因式分解法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，让学生体会转化的思想. 教学重难点 重点：用运用因式分解法解一元二次方程. 难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 教学过程 导入新课 1.(1)什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. (2)因式分解有哪些方法？ 提公因式法、公式法、十字相乘法. 将下列各式分解因式： （1）5x；（2）－4 x＋4；（3）4x（x－1）－2＋2x； （4）－4；（5）（2x－1）²－. 设计意图：通过复习相关知识，有利于学生熟练且正确地将多项式因式分解，从而有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习做好铺垫. 探究新知 一、预习新知 让学生自主预习课本46~47页，然后提出问题： 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 教师展示小颖、小明和小亮的三种解法： 小颖的解法： 小明的解法： 由方程3x，得 由方程3x两边 3x0. 同时约去x，得 因此， 3. 0，3.　 所以这个数是3. 所以这个数是0或3. 小亮的解法： 由方程3x，得 3x0. 即x（x－3）0， 于是x或x－3. 因此，3. 所以这个数是0或3. 然后教师引导学生讨论看哪种方法对，且更简便. 二、合作探究 提出问题：学生探讨哪种方法对，哪种方法错，错的原因在哪里，哪种方法更简便？ 小颖用的什么方法？ 公式法. 小明的解法对吗？为什么？ 不对，违背了等式的基本性质，x可能为零. 小亮的解法对吗?其依据是什么？ 对.依据是两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零. 教师引导学生得出结论： 如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0. 如果两个因式的积为零，那么至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积也就等于零. “或”有下列三层含义： ①a＝0，b0；②a0，b＝0；③a＝0，b＝0. 问题： 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？ 教师引导，学生总结得到因式分解法的定义. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 因式分解法的步骤： 1.移项：将方程的右边化为0; 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积; 3.转化：方程转化为两个一元一次方程; 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程的解. 巩固练习 用因式分解法解下列方程： (1)3x2－6x＝－3；　　(2)3(x-2)－(x-2)2. 解：（1）化为一般式为x2－2x＋1＝0， 因式分解，得（x－1）（x－1）＝0， 从而x－1＝0， 所以 （2）把方程左边因式分解，得 （x－2）（5－x）＝0， 从而（x－2）＝0或（5－x）＝0， 所以2，5. 典型例题 【例1】我们知道x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，那么x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0，请你用上面的方法解下列方程. (1)x2－3x－4＝0；　　(2)x2－7x＋6＝0； (3)x2＋4x－5＝0. 【问题探索】上面因式分解的特点是什么？一次项系数与常数项有什么关系？ 【解】二次三项式x2－(a＋b)x＋ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由(－a)·(－b)而成的，而一次项是由－a，－b分别与x交叉相乘而成的，根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式. (1)因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0. 于是，得x＋1＝0或x－4＝0， 故x1＝－1，x2＝4. (2)因式分解，得(x－1)(x－6)＝0. 于是，得x－1＝0或x－6＝0， 故x1＝1，x2＝6. (3)因式分解，得(x＋5)(x－1)＝0. 于是，得x＋5＝0或x－1＝0， 故x1＝－5，x2＝1. 【总结】上面这种因式分解的方法叫做十字相乘法，在解一元二次方程中经常用到这种方法. 【例2】已知9a2－4b2＝0，求代数式－－的值. 【问题探索】a，b的值能直接求出来吗？a，b之间有怎样的关系？怎样将a，b的关系代入代数