第四章 图形的相似与整理 4.5 相似三角形判定定理的证明（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第四章 图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明 教学目标 1.掌握相似三角形判定定理的证明. 2.会利用相似三角形的判定定理进行简单的计算和证明. 教学重难点 重点：相似三角形判定定理的证明. 难点：探究相似三角形判定定理的证明过程，并运用它们解决问题. 教学过程 导入新课 前面，我们已经学过三角形相似的哪些判定方法？但是这些方法，我们都是通过动手画图、测量、探索得出的，在理论上是不是一定正确还需要进行证明，这节课我们就来研究这个问题. 设计意图：让学生从回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣. 探究新知 一、预习新知 让学生自主预习课本99~101页. 命题1：两角分别相等的两个三角形相似. 如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流. 设计意图：让学生从证明文字命题入手，引导学生先进行画图，然后写出已知、求证，最后写出证明过程. 第一步：引导学生根据文字命题画图. 　　　　 第二步：根据图形和文字命题写出已知、求证. 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′. 求证: △ABC∽△A′B′C′. 第三步：写出证明过程. 师：目前我们能说明两个三角形相似的方法有哪些？ 生：只有相似三角形的定义. 师：我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理，可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等；下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可.根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A′B′C′全等的三角形，进而得到两个三角形相似. 然后教师以填空的形式进行引导. 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD＝A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 __________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ ____________. ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形DFCE是平行四边形. ∴ DE=CF.来源:学科网ZXXK] ∴ ____________. ∴ ____________. 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴ ____________. ∵ ∠A＝∠A′, ∠ADE=∠B′, AD=A′B′, ∴ △____≌ △____. ∴ △ABC∽△A′B′C′. 师：通过证明我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 二、合作探究 下面我们可以类比前面的证明方法，继续证明命题2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.小组内交流证明方法. 鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明，小组内交流证明方法，然后每组找学生代表在黑板上板书本小组的证明过程，最后对比各小组的证明过程，对于做的好的小组给予鼓励，对于出现问题的小组及时进行纠正. 通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明，从而得到相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 巩固练习 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE与△ABC相似的是( ) A.∠ADE＝∠C B.∠AED＝∠B C.＝ D.＝ 答案：C 典型例题 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC. 【问题探索】题中已知角的大小，可以利用两角分别相等的两个三角形相似来判定.由线段垂直平分线的性质，得AD＝BD，则∠ABD＝∠BAC＝40°，从而求得∠CBD＝40°，即可证出△ABC∽△BDC. 【证明】∵ DE是AB的垂直平分线，∴ AD＝BD. ∵ ∠BAC＝40°，∴ ∠ABD＝∠BAC＝40°. ∵ ∠ABC＝80°，∴ ∠DBC＝40°，∴ ∠DBC＝∠BAC. ∵ ∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC. 【总结】本题是已知角的大小，而没有给出边的关系，可以利用两角分别相等的两个三角形相似来判定． 课堂练习 1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E.若AD＝4，DB＝2，则DE∶BC的值为( ) A. B. C. D. 2.如图，在平行四边形ABCD中，E