第四章 图形的相似与整理 4.6 利用相似三角形测高（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第四章 图形的相似 6 利用相似三角形测高 教学目标 1.使学生掌握和综合运用相似三角形的判定定理和定义. 2.通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验. 3.通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心，实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值. 教学重难点 重点：综合运用相似三角形判定定理、性质解决实际问题. 难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系. 教学过程 导入新课 每个星期一早晨学校都会举行升旗仪式，同学们站在五星红旗下有没有想过我们学校的旗杆有多高呢？怎样利用已学知识测量旗杆的高度？ 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度． 活动方式：分组活动、全班交流研讨． 活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具． 设计意图：回顾复习相似三角形的判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课主题，明确目标． 探究新知 一、预习新知 让学生自主预习课本103~104页，然后教师课堂引导、学生课上讨论，归纳 总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法. 方法1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度（原理：这是直接利用相似三角形的方法）． 操作方法：一名学生直立于旗杆影子的顶端处，其他人测出该同学的影长和此时旗杆的影长． 处理方式：小组内交流并体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨.把太阳光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用相似三角形得出比例式． 示意图如下： 说明：AE，BC表示太阳光线，CD表示旗杆的高度，AB表示人的身高，BE表示人的影长，BD表示旗杆的影长． ∵ 太阳光线是平行的，∴ AE∥BC．∴ ∠AEB＝∠CBD． ∵ 人与旗杆都垂直于地面，∴ ∠ABE＝∠CDB．∴ △ABE∽△CDB． ∴ ，即CD＝． 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再测量出人的身高AB，就可以求出旗杆的高度CD了． 总结：太阳光线是平行光线,在同一时刻物体的实际高度与影长成比例,即. 设计意图：设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而更有效地激发学生的学习兴趣，使学生很快地进入学习状态． 方法2:利用标杆测量旗杆的高度（原理：这是间接利用相似三角形的方法） 操作方法：选一名学生作为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端与眼睛恰好在同一直线上，这时其他人分别测出他的脚与旗杆底部，以及他的脚与标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 处理方式：由小组交流、理解、体会操作方法，在教师引导下构造出相似三角形，了解可测出的数据，并完成解题过程． 特别提醒：用此方法时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直． 示意图如下： 说明：过点A作AN⊥DC于N，交EF于M． ∵ 人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴ ∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°． ∴ 人、标杆和旗杆互相平行． ∵ EF∥CN，∴ ∠1＝∠2． ∵ ∠3＝∠3，∴ △AME∽△ANC，∴ ． ∵ 人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出， ∴ 能求出CN的长度. ∵ ∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，∴ 四边形ABDN为矩形． ∴ DN＝AB．∴ 能求出旗杆CD的长度． 设计意图：使学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习、应用了相似三角形的判定定理，体会数学来源于生活并服务于生活． 方法3：利用镜子的反射测量旗杆的高度（原理：这是直接运用相似三角形的方法）． 操作方法：选一名学生作为观测者，在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子不断调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆的顶端，测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度． 处理方式：让学生先独立思考体会操作方法，再在教师的引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD的长度. 示意图如下： ∵ 入射角＝反射角，∴ ∠ AEP＝∠CEP，∴ ∠AEB＝∠CED． ∵ 人、旗杆都垂直于地面，∴ ∠B＝∠D＝90°．∴ △EAB∽△ECD． ∴ ，即 CD=． 因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆的高度CD． 设计意图：结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念． 巩固练习 高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑