第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 教学目标 1.让学生理解正方形的概念； 2.引导学生探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 3.让学生会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 教学重难点 重点：理解并掌握正方形的性质定理； 难点：正方形性质定理的应用. 教学过程 导入新课 观察图片，让学生对正方形有初步了解.鼓励学生列举生活实例. 提出问题：如何定义正方形呢？ 探究新知 【问题1】 矩形如何变化成为正方形? 学生交流讨论后回答. 讨论结果：让矩形的一组邻边相等. 【问题2】 菱形如何变化成为正方形？学生交流讨论后回答. 讨论结果：让菱形的一个角是直角. 【结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （正方形的定义） 【探究1】（学生动手操作，教师引导） 准备一张正方形纸片，折一折,观察并思考： 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 【结论】正方形是轴对称图形，对称轴有4条. 【探究2】继续观察思考：正方形有哪些性质？ 【结论】1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. （教师组织学生讨论，证明所得结论） 【证明】 性质1：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边相等,四个角都是直角. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝90°, AB＝BC.（正方形的定义） 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是矩形,（矩形的定义） 四边形ABCD是菱形.(菱形的定义) ∴ ∠A＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝ 90°, AB＝ BC＝CD＝AD. 性质2：如图,四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD. 证明：∵ 正方形ABCD是矩形, ∴ AO＝BO＝CO＝DO. ∵ 正方形ABCD是菱形. ∴ AC⊥BD. 【探究3】平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有何关系？ 【结论】 【例题讲解】 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC延长线上一点,且CE＝CF，则BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. （教师引导，学生分析） 根据正方形的性质可得BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边＂证明△BCE和△DCF全等，得出BE＝DF.延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F＝90°，从而证得BE⊥DF. 解：BE＝DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ BC＝DC,∠BCE ＝90°.（正方形的四条边相等,四个角都是 直角） ∴ ∠DCF＝180°-∠BCE＝180°-90°＝90°. ∴ ∠BCE＝∠DCF. 又∵ CE＝CF, ∴ △BCE≌△DCF, ∴ BE＝DF. 延长BE交DF于点M（图略）, ∵ △BCE≌△DCF , ∴ ∠CBE ＝∠CDF. ∵ ∠DCF ＝90°, ∴ ∠CDF +∠F ＝90°. ∴ ∠CBE+∠F＝90°, ∴ ∠BMF＝90°. ∴ BE⊥DF. 【点评】此题考察了正方形的性质以及全等三角形的应用，难度不大，注意掌握辅助线的作法和等量代换思想的应用. 【例题讲解】 如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，求证：∠ EAD＝∠ EDA＝15° . （教师引导，学生分析） 根据等边三角形的性质可得BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°，根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°，进而求得∠ABE和∠DCE的度数，证得△ABE，△DCE是等腰三角形，从而可以求出∠BAE和∠CDE的度数，从而可证得∠ EAD＝∠ EDA＝15°. 解：∵ △BCE是等边三角形， ∴ BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°. ∴ AB＝BE＝CE＝CD,∠ABE＝∠DCE＝30°， ∴ △ABE，△DCE是等腰三角形. ∴ ∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝（180°-30°）＝75°， ∴ ∠EAD＝∠EDA＝90°-75°＝15°. 【点评】此题考查了正方形和等边三角形的性质，根据已知角的度数逐步推出，难度不大. 【变式】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边三角形ADE，求∠BEC的大小. （教师引导，学生分析） 因为等边三角形ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等.本题分两种情况：等边三角形ADE在正方