第二章 一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第二章 一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程 第1课时　用配方法求解简单的一元二次方程 教学目标 1.根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程. 2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程. 3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式，体会转化的数学思想. 教学重难点 重点：利用配方法解一元二次方程. 难点：把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式. 教学过程 导入新课 试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1)＝4; (2)＝0; (3)+1＝0. 解:根据平方根的意义，得（1）＝2,＝-2 ;（2）＝0 ; （3）＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解. 探究新知 思考：如果我们把＝4，＝0，+1＝0变形为＝p，各方程的解会是什么情形？ 老师总结：一般地，对于方程＝p： （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程＝p有两个不相等的实数根 ， ； （2）当p＝0 时，根据平方根的意义，方程＝p有两个相等的实数根＝0； （3）当p<0 时，因为对任何实数x，都有≥0，所以方程＝p无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）; (2)-900＝0; (3)＝7; (4)2-18＝0. 解：(1) 直接开平方，得x＝±5,即＝5，＝-5. （2）-900＝0，移项，得＝900，直接开平方，得x＝±30， 即＝30，＝-30. （3）＝7，直接开平方，得x+2＝±，即＝-2+，＝-2-. （4）2-18＝0，移项，得2＝18，则＝9，直接开平方，得1-3x＝±3, 即1-3x＝3或1-3x＝ -3，解得，. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或（mx＋n）2＝ p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x＝± 或mx＋n＝±. （2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况. 做一做：填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2＋12x＋36＝(x＋6)2 (x＋6)2＝+12x＋36； （2）x2―4x＋4＝(x―2)2 (x―2)2＝ x2―4x＋4； （3）x2＋8x＋16＝(x＋4)2 (x＋4)2＝x2＋8x＋16； （4）a2+2ab+b2＝( a+b )2 (a+b)2＝ a2+2ab+b2； （5）a2-2ab+b2＝( a-b )2 (a-b)2＝ a2-2ab+b2. 问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？ 老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x2+ax+的式子如何配成完全平方式？ 老师总结：. 将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x2＋8x―9＝0. 分析：先把它变成（x+m)2＝n的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x2＋8x＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x2＋8x+＝9+，即（x+4)2＝25.两边开平方，得x+4＝±5，即x+4＝5或x+4＝-5，所以. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式. (3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±；当n<0时，原方程无解. (4)解 —— 方程的解为x＝－m±. 即 用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x+n)2＝p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x2+12x-15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x2+12x－15＝0，移项，得x2+12x＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x2+12x+＝15+，即(x+6)2＝51.两边开平方，得x+6＝±.所以x1＝―6，x2＝――6(不合实际). 注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习 1.一元二次方程x2-16＝0的根是(　　) A.x＝2　　　 B.x＝4　　　　C.x1＝2,x2＝2　　　　D.x1＝4,x2＝-4 2.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为　(　　) A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15