第二章 一元二次方程 2.6 应用一元二次方程（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第二章 一元二次方程 6　应用一元二次方程 第1课时　几何（行程）问题 教学目标 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、行程问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. 2.理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题. 教学重难点 重点：学会用列方程的方法解决有关形积（行程）问题. 难点：如何找出图形的面积、体积问题及行程问题中的等量关系. 教学过程 导入新课 问题1：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (1) (2) 解:设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离与顶端下滑的距离相等.由题意得： ， 解得x1＝0(不符合题意,舍去)，x2＝2， 所以梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离与顶端下滑的距离相等. 问题2：如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 解：假设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离与梯子顶端下滑的距离 相等. 则， 解得x1＝0(不符合题意,舍去)，x2＝7， 所以梯子顶端下滑7 m时，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等. 探究新知 一、知识讲解 1.面积问题与一元二次方程 例1 要对一块长60 m，宽40 m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案 如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽. 解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x m. 根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×， 解得x1＝10，x2＝30. 检验：如果硬化路面的宽为30 m，那么2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10. 故P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10 m. 2.行程问题与一元二次方程 例2如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile) 解：连接DF.∵ AD＝CD , BF＝CF, ∴ DF是△ABC的中位线. ∴ DF∥AB，且DF＝AB. ∵ AB⊥BC,AB＝BC＝200 n mile, ∴ DF⊥BC,DF＝100 n mile，BF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile,那么 DE＝x n mile,AB+ BE＝2x n mile, EF ＝ AB + BF - (AB + BE) ＝ (300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 ＝ 1002+(300-2x)2， 整理，得3x2-1 200x +100 000 ＝ 0. 解这个方程，得，（不合题意，舍去）. 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 二、练习巩固，拓展提高 1.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是( Ｂ ) A.100 m2　　　　B.64 m2　　　　C.121 m2　　　　D.144 m2 解析：设原正方形的边长是x m,根据题意可得x(x-2)＝48,解得x1＝8,x2＝-6(不合题意,舍去),所以原来这块木板的面积是64 m2.故选B. 2.一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是 12 m.  解析:设矩形菜地的长为x m,则宽为(x-2)m,由题意得x(x-2)＝120,解得x1＝12,x2＝-10(舍去),故原菜地的长为12 m. 3.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D运动，点P停止运动时点Q也停止运动. (1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2? (2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是