第四章 图形的相似与整理 4.4 探索三角形相似的条件（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第1课时 利用两角判定三角形相似 教学目标 1.掌握两个三角形相似的判定定理1，并能运用三角形相似解决问题. 2.经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力以及合情推理能力. 教学重难点 重点：三角形相似判定定理1及探索过程. 难点：三角形相似判定定理1的运用. 教学过程 导入新课 教师用多媒体出示几个图形. 然后教师提出问题 师：观察一下，这些图片有什么特点？ 生：这两组图形都是形状相同、大小不同. 师：我们把形状相同、大小不同的两个图形叫做相似形. 师：前面我们学习了相似多边形，你能根据相似多边形的定义，总结出相似三角形的定义吗？ 生：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 师：那么两个三角形至少满足哪些条件就相似呢？ 由这一问题来引入本节课要研究的课题. 探究新知 一、预习新知 提出问题：我们能否类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢？ 师：三角形全等需要几个条件？判定定理有哪些？ 生：三个条件，边边边、边角边、角边角、角角边、斜边和直角边（直角三角形）. 师：类比三角形全等的判定，如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？ 让学生拿出三角尺，画一个三角形，使∠BAC＝60°，然后与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？ 改变角的度数，再试试. 学生小组合作，找小组代表发表本小组的见解，得到如果两个三角形只有一个角相等，它们不一定相似. 二、合作探究 提出问题：如果有两个角分别相等，它们相似吗？ 让同桌两人合作，两个人分别画△ABC和△DEF,使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β. 师：现在∠C与∠F相等吗？ 生：相等. 师：你们是怎么样得到的？ 生：根据三角形内角和得到. 师：测量三边的长度，计算,,相等吗？ 生：相等. 师：那这两个三角形相似吗？ 生：相似. 师：为什么呢？ 生：因为它们各角分别相等、各边也成比例，所以根据相似三角形的定义就能得到这两个三角形相似. 然后让学生改变∠α，∠β的大小，再试一试. 学生总结：无论如何改变∠α，∠β的大小都能得到两个三角形相似. 这样就得到三角形相似的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 巩固练习 下列各组图形有可能不相似的是（ ） A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 答案：A 典型例题 【例1】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长． 【问题探索】线段平行→角相等→三角形相似→线段比例式→BC的长． 【解】∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ＝， ∴ BC＝＝＝14. 【总结】先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义计算边长． 【例2】如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO. 【问题探索】观察法：构造三角形相似→三角形相似的定义得线段的比例式→代入数据→结论． 【解】如图，∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°. 又∠ACO＝∠BCD(对顶角相等)，∴△ACO∽△BCD，∴ ＝. ∵AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m， ∴ ＝，解得AO＝100，即峡谷的宽AO是100 m. 【总结】两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例． 课堂练习 1.已知△ABC∽△A′B′C′，且BC︰B′C′＝AC︰A′C′.若AC＝3，A′C′＝4.5，则△ABC与△A′B′C′的相似比为 ( ) A.1︰3 B. 3︰2 C. 3︰5 D. 2︰3 2.下列说法正确的是 ( ) A.有一个角相等的两个等腰三角形相似 B.所有的直角三角形相似 C.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 D.所有的等腰三角形相似 3. 如图，∠AED＝∠B，则下列关系一定成立的是(　 　) A．AD∶A