3.1函数的概念及其表示讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一节 函数的概念及其表示 ★知识点梳理 一、函数的有关概念 1、函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. 2、函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 注意:函数的三大特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 3、函数的表示方法 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、求函数定义域的原则 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. 三、函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 四、复合函数： （1）抽象函数：没有给出具体解析式的函数，只给出了函数所满足的一些条件，称为抽象函数． （2）对于对应法则，当法则施加的对象与表达式中的对象不一致时，如时，，我们称是由与复合而成的函数. 一般地，设有两个函数,其定义域为，值域为，,其定义域为，值域为，那么对于每一个，通过中间变量，有唯一实数与之对应，这样在上确定了一个函数，记作，.称为由函数及所构成的复合函数,函数称为内层函数,函数称为外层函数. ★重难点题型突破 一、判断对应关系（图像）是否为函数. 一个对应关系为函数关系的2个条件： (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应． 即对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 例1、下列图象中，表示函数关系的是（     ） A． B． C． D． 例2、（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 例3、下列四个图象中，表示函数关系的共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 例4、设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、函数的定义域 1．函数定义域的三种类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域时需注意 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商构成时，定义域是各个基本初等函数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 类型一 一般函数的定义域 例1、（1）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （3）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 类型二 复合函数的定义域 求复合函数的定义域的方法是：整体代换法（同在“”下，两个括号内的取值范围相同） 例2、（2022秋·湖南长沙长郡中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(     ) A． B． C． D． （2） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 例3、（1）（2022秋·河北衡水中学高一期中）已知定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 点评：本题考查已知定义域求定义域的