专题12 常见函数模型的应用（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题11 常见函数模型的应用 一、考情分析 有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决. 二、解题秘籍 (一)常见对数型函数模型 1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0， 2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，. 3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，. 4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式. 【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数. (1)当时，求函数在区间上的最大值； (2)若为函数的极值点，求证： 【解析】（1）定义域为，则， 当时，，， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； 若，即时，在上单调递减，故； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 故； 若，即时，则在上单调递增，故. 所以，； （2）（）， 则， 因为是函数的极值点，所以，即， 要证， 只需证，即证：， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以，即：， 所以，所以， ①当时，因为，，所以. ②当时，因为，所以， 所以，要证， 只需证， 即证对任意的恒成立， 令（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 即当时，成立. 综上：原不等式成立. (二)常见指数型函数模型 1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0， 2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，. 【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数． (1)若函数的图象与直线相切，求实数的值； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点， 因为, 所以，由②③可得④，易知. 由①得，代入④可得， 即，即，解得. 故. （2）令，可得， 由题意可得只有一个根. 易知不是方程的根，所以， 所以由，可得. 设，则与的图象只有一个交点. ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 所以. 又，时，，时，， 画出函数的图象如图所示：    由图可知，若与的图象只有一个交点， 则. 所以实数的取值范围是. (三) 常见三角函数模型 1.函数在上是减函数，函数在上是增函数 ， 2.与三角函数有关的常见不等式有：，，. 【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数． (1)记函数的导函数是．证明：当时，； (2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围． 【解析】 (1)．令，则． ∵，∴恒成立，即在R上为增函数． ∵，∴．∴． (2)． 由（1）知在R上为增函数． ∴当时，有，即； 当时，有，即． 当时，由，解得，，且在R上单调递减． ①当时，． ∵当时，有；当时，有；当时，有， ∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． ∴满足0为函数的极小值点； ②当时，． ∴时，有恒成立，故在R上为减函数． ∴函数不存在极小值点，不符合题意； ③当时，． ∵当时，有；当时，有；当时，有， ∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． ∴0为函数的极大值点，不符合题意． 综上所述，若0为函数的极小值点，则a的取值范围为． (四) 或. 在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时. 【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若a=1，讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围； 【解析】（1）由，得， 因为是的极值点， 所以，即，所以，经检验符合题意. （2）若a=1，. 当，即时，，所以在上单调递减； 当时，；在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， （3）的定义域为，若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 令，只需，又， 令得， 时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以，解得：； (五) 或 讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增 【例5】设函数，其中是自然对数的底数，. (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】 (1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需， 令，，当时，，当时，，所以，故，即. (2)当时, ， 当时，， 当时，令，分离参数得， 由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为： 所以，即,即. 三、典例展示 【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数. (1)当时，求的单调区间;