素养拓展29 立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展29 立体几何中的结构不良问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、空间向量与立体几何的求解公式 (1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cos θ＝； (2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β， 则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝. (3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量， 则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n1，n2〉＝； 注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定． (4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量， 则点B到平面α的距离为：||＝，即向量在法向量n的方向上的投影长. 二、几种常见角的取值范围 ①异面直线成角∈(0，] ；②二面角∈[0，π] ；③线面角∈[0，] ；④向量夹角∈[0，π] 三、平行构造的常用方法 ①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法. 四、垂直构造的常用方法 ①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法. 五、用向量证明空间中的平行关系 (1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2. 六、用向量证明空间中的垂直关系 (1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 七、点面距常用方法 ①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法 二、题型精讲精练 【典例1】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面. （2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， （2）因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，故， 若选①，则，而，， 故平面，而平面，故， 所以，而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 若选②，因为，故平面，而平面， 故，而，故， 而，，故， 所以，故， 而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 【题型训练-刷模拟】 一、解答题 1．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点． (1)求证：； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小． 条件①：； 条件②：平面平面； 条件③：． 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，E为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若点F在内，且，从下面三个结论中选一个求解. ①求直线 与平面所成角的正弦值； ②求平面与平面所成角的余弦值； ③求二面角的余弦值. 注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分. 3．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，为线段上一点，平面交棱于点. (1)求证：; (2)若直线与平面所成角为，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点到平面的距离. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 4．（2023·北京海淀·校考三模）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，分别是的中点，是上一点，且.