3.2用频率估计概率讲义2023-2024学年北师大版数学九年级上册

                          3.2用频率估计概率讲义北师大版九年级数学上册

基础知识详解

知识点一     频率与概率的区别

内容 叙述	文字叙述
	随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的随机性，其值总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小，这个常数便叫做这个随机事件的概率。
知识详解	（1）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 （2）通过统计频率估计概率：当试验的可能性有很多，并且各种可能结果发生的可能性大小相等时，可以用P(A)= 得出概率，当试验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性大小不相等时，只能通过事件发生的频率来估计其概率。 （3）试验次数越多，频率越趋向与概率。
特别 提醒	试验是估计概率的一种方法.通过试验的方法用频率估计概率应注意以下几点： （1）通过试验的方法用频率估计概率，试验要在相同的条件下进行，否则结果可能会受到影响. （2）通过试验，用频率估计概率，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计概率.

出题角度1   频率与概率的区别与联系

例1.下列说法中正确的个数是（　　）

①不可能事件发生的概率为0；②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

解析：利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确的选项．

①不可能事件发生的概率为0	√
②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大	√
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值	√
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率	×

答案：C

思维点拨： 本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率可以估计概率．

针对训练1. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　）

A． 频率就是概率                    B． 频率与试验次数无关

C． 概率是随机的，与频率无关        D． 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

知识点二    用频率估计概率

内容 叙述	文字语言	数学符号语言
	一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p叫做事件A的概率。	记为P(A)=p 或 P(A)=
知识详解	（1）当试验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性大小不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率。 （2）概率从数量上反映了一个随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的数；而频率只有在大

	量重复试验的前提下才可近似地作为这个事件的概率。
特别提醒	（1）用频率估计概率时必须做足够多的试验才能使频率接近于概率，并且每次试验必须在相同条件下进行。 （2）试验得出的频率只是概率的近似值。 （3）概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在。

出题角度1    利用频率估计概率求数量

例2.“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是　    　个．

解析：因为摸到红球的频率在0.2附近波动，所以摸出红球的概率为0.2，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．设红球的个数为x，∵红球的频率在0.2附近波动，

∴摸出红球的概率为0.2，即=0.2，解得x=200．所以可以估计红球的个数为200．

答案：200

解题方法： 利用频率估计概率求数量的方法：这类问题无法直接求，可利用频率与概率的关系，借助方程解决概率问题。通常利用方程思想解决有关概率中已知概率值求某物品数量的问题．

变式练习2.儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具．已知参加这种游戏的儿童有40000人次，公园游戏场发放海宝玩具8000个．
⑴求参加此次活动得到海宝玩具的概率？
⑵请你估计袋中白球的数量接近多少？

出题角度2   用频率求非等可能事件的概率

例3.一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是年平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：

实验次数	20	40	60	80	100	120	140	160
“兵”字面朝上频数	14		38	47	52	66	78	88
相应频率	0.7	0.45	0.63	0.59	0.52		0.56	0.55

（1）请将数据补充完整；

（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；

（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？

分析：（1）（3）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；

（2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．

解：（1）所填数字为：40×0.45=18，66÷120=0.55；

（2）折线图：

（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55．

思路归纳：利用频率估计概率时，不能以某一次的结果估计概率，所以的次数越多，用频率估计概率就越准确，因此可用多次试验后的频率的稳定值估计概率。

变式练习3.某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有　   　条鱼．

知识点三  用模拟试验的频率估计随机事件发生的概率

内容 叙述	概念	举例
	当我们的手边没有某种试验所需的材料，或想尽快求得某个事件发生的概率时，我们通常用一些简单而又易操作的试验来替代原来的试验，这样的试验，通常称为模拟试验。	抛掷硬币、摸球试验、抽取扑克牌等
知识详解	（1）模拟试验的多样性：同一试验，有各种各样的替代物，这样会给试验带来很多方便。如在抛掷一枚硬币的试验中，如果手边恰好没有硬币，可以用一张红桃扑克牌和一张黑桃扑克牌作为替代物，还可以用黄。白两个乒乓球作为替代物，但不是所有试验都能找到替代物。 （2）模拟试验的原则：替代试验必须在相同条件下进行，否则会影响试验效果，摸球试验中应记住每次摸出球后必须放回。
特别提醒	用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能的增加试验次数，当试验次数很大时，结果将会较为准确。

出题角度1   用替代物做试验

例4.某商场进行有奖促销活动．活动规则：购买500元商品就可以获得一次转转盘的机会，（转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、不获奖），转盘指针停在哪个获奖区域就可以获得该区域相应等级奖品一件．商场工作人员在制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：

奖次	特等奖	一等奖	二等奖	三等奖
圆心角	1°	10°	30°	90°

（1）获得圆珠笔的概率是多少？

（2）如果不用转盘，请设计一种等效实验方案．

（要求写清楚替代工具和实验规则）

分析： （1）根据圆珠笔在整个圆中所占的比例即可解答；

（2）根据（1）中所得结果可设计出多种方案，答案不唯一．