第二课时　函数的最大(小)值

第三章 函数的概念与性质 第二课时　 函数的最大(小)值 课标要求 借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 素养要求 通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 内容 索引 CONTENTS 问题导学预习教材 必备知识探究 01 互动合作研析题型 关键能力提升 02 拓展延伸分层精练 核心素养达成 03 问题导学预习教材 必备知识探究 WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU 1.问题　观察下列两个函数的图象，回答有关问题： (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ 提示　图①中函数f(x)＝－x2的图象有一个最高点，图②中f(x)＝－x没有最高点. 5 (2)通过观察图①你能发现什么？ 提示　对任意x∈R，都有f(x)≤f(0). (3)你能以f(x)＝－x2为例说明f(x)的最大值的含义吗？ 提示　f(x)的定义域为R，∀x∈R，f(x)≤f(0)＝0，称f(0)＝0为函数f(x)＝－x2的最大值. 6 2.问题　观察下列三个函数的图象，回答有关问题. (1)三个函数的图象都有最低点吗？ (2)观察图①，你能发现什么？能否以f(x)＝x2为例说明f(x)的最小值的含义？ 提示　对∀x∈R，都有f(x)≥f(0)＝0，称f(0)＝0为函数f(x)＝x2的最小值. 7 3.填空   最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有______________ ∀x∈I，都有___________ ∃x0∈I，使得________________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上______点的________ f(x)图象上______点的________ f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M 最高 纵坐标 最低 纵坐标 8 温馨提醒　(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略. 9 B A.4 B.2 C.0 D.－4 (2)函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最小值为________. 0 (2)根据f(x)＝|x|图象知f(x)min＝f(0)＝0. × 5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.( ) 提示　M是存在的，并且∃x0∈I，使得f(x0)＝M. (2)一个函数可能有多个最小值.( ) 提示　最大(小)值至多有1个. (3)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( ) (4)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.( ) 提示　值域确定，但不一定有最值. × √ × HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG 互动合作研析题型 关键能力提升 2 解　作出f(x)的图象如图. 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 题型一　利用图象求函数的最值 图象法求函数最值的一般步骤 思维升华 解析　作出函数f(x)的图象(如图①).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 1 0 图①　 (2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　) A.2 B.1 C.－1 D.无最大值 解析　在同一坐标系中，作出函数的图象(如图②中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B. B 图② 题型二　利用单调性求函数的最值 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 因为x1<x2且x1>1，x2>1， 所以x1－x2<0，x1x2>1， 所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数. (2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围. 所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立. 记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)， 所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增， 故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a. 所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立， 所以实数a的取值范围为(－3，＋∞). 1.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性.(