10.3 二项式定理及其应用-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

10.3 二项式定理及其应用 思维导图 知识点总结 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________________________ (n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝__________，它表示第________________项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.这一性质可直接由C＝C得到． 直线r＝将函数ƒ(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． (2)增减性与最大值 因为C＝ ＝C， 即＝，所以，当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n是奇数时，中间的两项__________与_____相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝ _____； (2)C＋C＋C＋…＝_____； (3)C＋C＋C＋…＝_____. 1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题． 2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 典型例题分析 考向一 　求展开式中的特定项或特定项系数 【例1】　(1)(2022·上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 【变式】(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________. 　　 1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项公式得所求． 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 考向二 二项展开式中系数的和 【例2】　若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．27 D．－27 　赋值法的应用 (1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1. (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1. (3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022(x∈R)，则(　　) A．a0＝1 B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝ C．a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝ D.＋＋＋…＋＝－1 考向三 二项式系数的最值问题 【例3】二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 　求二项式系数最大的项 (1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大． (2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大． 【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 考向四 项的系数的最值问题 【例4】　(1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　) A. B． C. D． 【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________. 求展开式中系数最大的项 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来． 【变式2】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为_____