9.3 双曲线的定义与性质-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

9.3 双曲线的定义与性 思维导图 知识点总结 1.双曲线定义：设是平面内的两个定点，若平面内的点满足||，则点的轨迹是以为焦点的双曲线. 2.双曲线的标准方程及简单几何性质 标准方程 焦点坐标 左焦点，右焦点 上焦点，下焦点 焦距 ，其中叫做半焦距，且 图形 ≤或≥∈ ≤或≥，∈R 范围 对称性 关于轴、轴、原点对称 实轴端点(顶点) (±0) (0，±) 虚轴端点 (0，±) (±，0) 实轴长 2其中叫做实半轴长 虚轴长 2其中叫做虚半轴长 渐近线 离心率 3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为. 典型例题分析 考向一 　双曲线的定义 【例1】双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则___________ 答案：2或10 解析：已知求用双曲线定义，需注意有绝对值， 由题意，，所以，故，结合可得或10. 【变式】双曲线的左焦点为为双曲线右支上一点，则的最小值为___________ 答案： 解析：如图，直接分析的最小值不易，涉及，可考虑用定义转化到右焦点来分析，设双曲线的右焦点为，则，所以，故(1)， 由三角形两边之和大于第三边可得， 当且仅当与图中重合时取等号， 结合(1)可得，故. [反思]可以发现，双曲线定义与椭圆运用思路类似，实际上大部分题目处理思路也相同，故要类比学习. 考向二 双曲线的标准方程 【例2】若方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________ 答案： 解析：双曲线标准方程中和的系数异号，所以，解得：或. [反思]对于方程，若，则该方程表示椭圆；若，则该方程表示双曲线. 【变式】双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则___________ 答案： 解析：先把双曲线化为标准方程，找到和， 所以，由题意，，故，即，所以. 考向三 渐近线问题 【例3】已知双曲线，则的右焦点的坐标为；点到其渐近线的距离是___________ 答案： 解析：由题意，，所以双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为，即，故点到渐近线的距离. [反思]无论焦点在哪个坐标轴上，双曲线的渐近线都有个统一的求法：把标准方程中的“1”换成“0”，反解出即得渐近线的方程. 【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为___________ 答案： 解析：由离心率可找到和的比例关系，再利用换算成和的关系即可，由题意，，所以，故，化简得：，所以渐近线方程为. [反思]离心率和渐近线斜率由的比值决定，故在求它们的过程中，可对按比例赋值，不会影响结果.例如，本题也可由直接令，于是，也得出. 【变式2】双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为___________ 答案： 解析：不知道焦点在哪个坐标轴，讨论当然可以，但较为繁琑，可用共渐近线的双曲线的统一设法，设双曲线，因为双曲线过点，所以，解得：，故双曲线的方程为. [反思]与双曲线共渐近线的双曲线可设为. 考向四 离心率问题 【例4】(2021-全国甲卷)已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为( ) A. B. C. D. 答案： 解析：涉及和，考虑双曲线定义，由题意，，所以，还剩这个条件没用，可在中由余弦定理建立方程求离心率，由余弦定理，，即，整理得：，所以的离心率. 【变式】}已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，且，则双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 答案：C 又，代入(1)可得，代入(2)可得，所以，对于这个条件，我们能想到用余弦定理建立方程求离心率，但若在中用，它的三边没有完全求出来，而三边均已知了，所以转化到中来用，因为，所以，故，由余弦定理，，即，整理得：，所以离心率. 考向五 焦点三角形面积问题 【例5】[变式]设是双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于两点，且，且的周长为，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：先分析图形，在双曲线中给出右焦点，一定要关注左焦点，如图，记左焦点为，由对称性，中点为，又的中点也是，所以四边形是平行四边形，结合知四边形是矩形，此时可将条件转移到中来，结合双曲线的定义处理，设，则，由四边形为矩形知，由题意，的周长，所以(1)，由双曲线定义，(2)，又，所以(3)，要求离心率，应消去和，建立和的关系式，将(1)和(2)平方相加可得，整理得：，代入(3)可得，故离心率. 【变式】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则的面积为___________ 答案：4 解析：涉及焦点三角形，考虑用双曲线的定义，如图，设，则(1)，上面得到的是长度关系，故用勾股定理翻译垂直，因为，所以(2)，对比(1