专题02 与全等三角形有关的常见几何模型（考点清单，7种模型）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题02 与全等三角形有关的常见几何模型（考点清单） 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 【专训1-1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 【专训1-2】阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．    求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【典例2】如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 【专训2-1】（1）如图1，已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【专训2-2】已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、