单元提分专题02 全等三角形一线三等角-2023-2024学年八年级数学上册单元测试定心卷（苏科版）

专题02八年级数学上册重点提分题（解析版） 全等三角形－一线三等角 1．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点． （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．     【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD． 【分析】（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系． 【解析】解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴DE＝AD+BE． （2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD． 如图② ∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE． DE＝AD﹣BE， 如图③ ∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键． 2．如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长． 【答案】3.5 【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得，继而证明，得到，最后根据线段的和差解题． 【解析】解：∠B=∠C=∠FDE=80°， 在与中，    ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，______°； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）50；（2）=5时，，理由见解析；（3）当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形 【分析】（1）先求出∠B=30°，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴∠B=（180°-120°）÷2=30°， ∵， ∴180°-100°-30°=50°， 故答案是：50； （2）当AP＝5时，， 理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°， 又∵∠APC是△BPC的一个外角， ∴∠APC＝∠B＋＝30°＋， ∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD， ∴＝∠APD， 又∵AP＝BC＝5， ∴； （3）△PCD的形状可以是等腰三角形， 则∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°， PC＝PD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°， ∴α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°， 即120°−α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形． 【点睛】本