2.4.1圆的标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4. 圆的标准方程 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形，通过前面的学习，我们知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？ 初中圆是怎样定义的？P82思考 阅读教材82页并回答下面问题： （1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？ （2）如果已知圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r，我们如何写出圆的方程？ 由定义求：圆心是A(a ,b)，半径是r的圆的方程 . r x A O y 设M(x,y)是圆上任意一点， 根据定义，点M到圆心A的 距离等于r，所以圆A就是集合 P ={ M | |MA|=r } 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。 M . 解： 若点M在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程① ，反之，若点M的坐标满足方程① ，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在圆心为A的圆上.方程①就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. r x A O y M . …… ① 特点: 1.是关于x、y的二元二次方程; 3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件, 4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 即 a、b、r . 练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3) (x-3)2+(y-4)2=5 5 (x-8)2+(y+3)2=25 练习：2、 写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2 (1,0) 6 (-1,2) 3 (-a,0) |a| 例1 求圆心为 ，半径为5的圆的标准方程，并判断点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心为 ，半径为5的圆的标准方程是 把点 的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边相等，点 M1的坐标满足圆的方程，所以点M1 在这个圆上． 把点 的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边不相等，点M2 的坐标不满足圆的方程，所以点 M2不在这个圆上 结论: 1.点M(x0, y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2有三种关系： 一般地， 练习：已知一个圆的直径端点是M(x1, y1)、 N(x2, y2)， 证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0． 证明： x A O y M . . N 设P(x, y)是圆上任意一点， 则由M,N是直径的端点知 . P 即 即为所求圆的方程. 称其为圆方程的直径式. 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 解1： 设所求圆的方程为： 则由A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)都在圆上得， 解得 故△ABC的外接圆的方程是： x y O A B C D 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 解2： AB边中点： AB边斜率： AB边中垂线方程： 即 同样可求得AC边中垂线方程： 解方程组 得 圆心: 半径: 故△ABC的外接圆的方程是： x y O A B C D 变式. <m></m> 的三个顶点的坐标分别为 <m></m> ，O(0,0), <m></m> （1）求 <m></m> 的外接圆的方程. （2）求 <m></m> 的内切圆的方程. 变式. <m></m> 的三个顶点的坐标分别为 <m></m> ，O(0,0), <m></m> （1）求 <m></m> 的外接圆的方程. 变式. <m></m> 的