热点专题04 圆的方程-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

热点专题04圆的方程 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点3 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为，则. 知识点4 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 知识点5 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点6 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 题型一 求圆的方程 【例1】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为_____． 【例2】已知圆过原点，且与轴、轴的交点的坐标分别为、，求这个圆的方程． 【变式1-1】的三个顶点的坐标分别为，求的外接圆的方程. 【变式1-2】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【变式1-3】求下列各圆的方程. (1)圆心为点，且过点； (2)过，，三点． 题型二 二元二次方程与圆的关系 【例3】“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为_____. 【变式2-1】已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为_____． 【变式2-3】讨论方程（为任意实数）所表示的曲线． 题型三 圆的对称的应用 【例5】圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是_____． 【变式3-1】已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】圆关于直线对称，则 _____． 【变式3-3】若 圆被直线平分，则圆的半径为_____. 题型四 与圆有关的轨迹方程 【例7】已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为_____． 【变式4-1】已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为_____. 【变式4-2】已知中，点，，顶点满足条件，则的面积最大值为_____. 【变式4-3】已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 题型五 直线与圆的位置关系 【例9】直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【例10】已知圆上恰有3点到直线的距离等于1，则_____． 【变式5-1】过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B． C． D．4 【变式5-2】已知直线，圆，分别求直线与圆相交､相切､相离时b的取值范围. 【变式5-3】已知直线和圆，判断直线l与圆C的位置关系．如果相交，求出它们的交点的坐标． 题型六 圆的弦长问题 【例11】过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（    ） A．3 B． C． D．4 【例12】已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有_____条. 【变式6-1】已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式6-2】（多选）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．圆被轴截得的弦长为8 C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为6 【变式6-3】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为_____. 题型七 圆与圆的位置关系 【例13】已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（