导数综合应用讲义-2024届高三数学二轮专题复习

导数综合应用

考点1 零点存在性 隐零点代换

隐零点工具介绍：隐形零点、设而不求

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性

得到零点的范围；

第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；

第三步：求解问题．我们将其称为隐形零点三部曲．

隐零点代换的两个关键步骤是“虚设零点(并卡范围)”和“整体代换”．

我们在利用导函数研究原函数的极值时，有时我们虽然证明了导函数的零点存在，甚至唯一，但是无法真正地把零点解出来，这时候我们不得不将零点虚设为，再利用导函数为0，我们可以得到关于隐零点的一个等式，利用它进行代换，可以将我们所求的极值中的表达式进行化简，以便于我们接下来对的大小或性质进行研究．

考点2 指数找朋友 对数独行侠

1.对数：乘除变加减

设为可导函数，则有，若为非常数函数，求导式子中含有，这类问题需要多次求导．处理这类函数的秒杀技巧是将前面部分提出，就留下这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗．

2.指数：加减变乘除

 设为可导函数，则有，若为非常数函数，求导式子中还是含有，针对此类型，可以采用做商的方法，构造，从而达到简化证明和求最值的目的，总在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友．

考点3 指对三角放缩应用

1.指数切线放缩

秘籍1：0线放缩

①(切点横坐标是)；

②(切点横坐标是)；

③(切点横坐标是).

秘籍2：1线放缩

①（切点横坐标是）；

②（切点横坐标是）；

③(切点横坐标是).

2.对数切线放缩

秘籍1：1线放缩

（也可以记为，切点为引起的放缩）

（用替换，切点横坐标），或者记为.

．（由及切点横坐标是），或者记为．

秘籍2：0线放缩

（由向左平移一个单位来理解）

秘籍3：线放缩：

．（用替换，切点横坐标是），表示过原点与的切线为．

3.三角函数放缩

我们通常能够用到的是：对于恒成立，对于恒成立；

当然还有三角函数有界性．

考点4 导数与数列放缩

模型一：等差数列的裂项相消放缩：

，，.

 

；

模型二：等比数列的裂项相消放缩：设是以为首项，且公比为q的等比数列，关于

，

模型三：已知：数列满足：,则=，故 故

考点一 零点存在性 隐零点代换

1、已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3.

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

 

 

 

 

 

 

2、设函数．